$A$は$B$の[上の]$C$による[を...とする]ナントカといったときはだいたい次の図式が成り立つ？
\[
0 \longrightarrow C \longrightarrow
A \longrightarrow
B \longrightarrow
0
\]
ex)
$A$は$B$上の$C$による群拡大
$A$は$B$上の主$C$束
2012年12月28日金曜日
射の射と図式の射
射の射とか図式の射はいたって自明なことであるためあまり陽には意識されていないと思われるが、意識すると諸緒の記述が楽になるかもしれない。完全列間の射とか、三角間の射とか。
射$f,g$について、 次なる図式が可換であるときに射の組$(u,v)$が$f$から$g$への射であるという。
射$f,g$について、 次なる図式が可換であるときに射の組$(u,v)$が$f$から$g$への射であるという。
また同時に$(u,v)$は図式$A\rightarrow B$から$C\rightarrow D$への射であるともいう。一般的にある図式について、その図式のすべての対象から別の図式の対応する対象の間に射が定められこれらが図式の射の射となっているときこの射たちの組を図式間の射と定める。日本語で書くとややこしいが数学語でどう格好よく表現すればよいか思い浮かばない。
2012年12月14日金曜日
シンプレクティック形式とディラック括弧
$2n$次元シンプレクティック空間$M$上ではシンプレクティック形式$\omega = \sum_{i=1}^n
dp^i
\wedge dq^i\in T^* M\otimes T^*M $によってある0形式$f$と$df=\omega(X_f)$なるベクトル場$X_f$が対応する。ここで $T^* M\otimes T^*M \simeq TM\rightarrow T^*M$なので引数の数によって $\omega$をどちらの集合の元として見ているかを区別している。
これからベクトル場$X_f$の具体的な表式を求める。ダルブー座標$(z^1,z^2,...,z^{2n})=(q^1,q^2,...,q^n, p^1,p^2,...,p^n)$ を用いて
\[
X_f = \sum_{k=1}^{2n}X_f^k \frac{\partial}{\partial z^k} = \sum_{i=1}^n A^i \frac{\partial}{\partial q^i}+ B^i \frac{\partial}{\partial p^i}
\]
とすると
\[
\omega(X_f) = \sum_{k=1}^{2n}X_{f,k} dz^k = \sum_{i=1}^n B^i dq^i - A^i dp^i
\]
ただし$X_{f,k} = \Omega_{kl}X_f^l$で$\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\-I_n & 0 \end{pmatrix}$。
今$df-\omega(X_f)=0$なる式は
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q^i} - B_i \right) dq^i + \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial p^i} + A_i \right) dp^i = 0
\end{equation}
と書けるので最終的に
\[
X_f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial}{\partial p^i} - \frac{\partial f}{\partial p^i} \frac{\partial}{\partial q^i}
\]
となる。二つの0形式$f,g$について
\[
[f,g]_{P}=\omega(X_f, X_g) = -X_f g = \frac{\partial f}{\partial p^i} \frac{\partial g}{\partial q^i} - \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial g}{\partial p^i}
\]
なる量を$f,g$のポアソン括弧という。もしかしたら慣例的記法と符号が異なるかもしれない。
いま拘束された $M$にの部分空間もまたシンプレクティック空間となるように 拘束条件$\phi^A=0(A=1,...,2m)$を置く。すると式(1)において$dq^\ast, dp^\ast$らは線型独立ではないためラグランジュの未定乗数$\lambda_A$を導入する。ここで$\ast$はワイルドカードである。この条件に拘束されたベクトル場$X_f$を$\bar{X}_f$と書くことにすると、$df-\omega(\bar{X}_f)-\sum_A\lambda_A\phi^A=0$は
\[
\sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q^i} - \bar{B}_i -\sum_A\lambda_A \frac{\partial \phi^A}{\partial q^i} \right) dq^i + \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial p^i} + \bar{A}_i - \sum_A\lambda_A \frac{\partial \phi^A}{\partial p^i} \right) dp^i = 0
\]
と書けて
\[
\bar{X}_f = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial q^i}- \lambda_A \frac{\partial \phi^A}{\partial q^i} \right) \frac{\partial}{\partial p^i} - \left( \frac{\partial f}{\partial p^i} - \lambda_A \frac{\partial \phi^A}{\partial p^i} \right) \frac{\partial}{\partial q^i}
\]
が求まる。$ \sum_A$は省略した。 今拘束条件$\phi^A=0$下におけるポアソン括弧は
\[
[f,g]_D = -\bar{X}_f g = [f,g]_P - \lambda_A [\phi^A,g]_P
\]
となって、これを$f$と$g$とのディラック括弧という。
これからベクトル場$X_f$の具体的な表式を求める。ダルブー座標$(z^1,z^2,...,z^{2n})=(q^1,q^2,...,q^n, p^1,p^2,...,p^n)$ を用いて
\[
X_f = \sum_{k=1}^{2n}X_f^k \frac{\partial}{\partial z^k} = \sum_{i=1}^n A^i \frac{\partial}{\partial q^i}+ B^i \frac{\partial}{\partial p^i}
\]
とすると
\[
\omega(X_f) = \sum_{k=1}^{2n}X_{f,k} dz^k = \sum_{i=1}^n B^i dq^i - A^i dp^i
\]
ただし$X_{f,k} = \Omega_{kl}X_f^l$で$\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\-I_n & 0 \end{pmatrix}$。
今$df-\omega(X_f)=0$なる式は
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q^i} - B_i \right) dq^i + \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial p^i} + A_i \right) dp^i = 0
\end{equation}
と書けるので最終的に
\[
X_f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial}{\partial p^i} - \frac{\partial f}{\partial p^i} \frac{\partial}{\partial q^i}
\]
となる。二つの0形式$f,g$について
\[
[f,g]_{P}=\omega(X_f, X_g) = -X_f g = \frac{\partial f}{\partial p^i} \frac{\partial g}{\partial q^i} - \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial g}{\partial p^i}
\]
なる量を$f,g$のポアソン括弧という。もしかしたら慣例的記法と符号が異なるかもしれない。
いま拘束された $M$にの部分空間もまたシンプレクティック空間となるように 拘束条件$\phi^A=0(A=1,...,2m)$を置く。すると式(1)において$dq^\ast, dp^\ast$らは線型独立ではないためラグランジュの未定乗数$\lambda_A$を導入する。ここで$\ast$はワイルドカードである。この条件に拘束されたベクトル場$X_f$を$\bar{X}_f$と書くことにすると、$df-\omega(\bar{X}_f)-\sum_A\lambda_A\phi^A=0$は
\[
\sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q^i} - \bar{B}_i -\sum_A\lambda_A \frac{\partial \phi^A}{\partial q^i} \right) dq^i + \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial p^i} + \bar{A}_i - \sum_A\lambda_A \frac{\partial \phi^A}{\partial p^i} \right) dp^i = 0
\]
と書けて
\[
\bar{X}_f = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial q^i}- \lambda_A \frac{\partial \phi^A}{\partial q^i} \right) \frac{\partial}{\partial p^i} - \left( \frac{\partial f}{\partial p^i} - \lambda_A \frac{\partial \phi^A}{\partial p^i} \right) \frac{\partial}{\partial q^i}
\]
が求まる。$ \sum_A$は省略した。 今拘束条件$\phi^A=0$下におけるポアソン括弧は
\[
[f,g]_D = -\bar{X}_f g = [f,g]_P - \lambda_A [\phi^A,g]_P
\]
となって、これを$f$と$g$とのディラック括弧という。
2012年11月7日水曜日
メモ
多様体$\rightarrow$局所
$\rightarrow$
Euclid
解析関数$\rightarrow$局所 $\rightarrow$ 多項式
多様体$\rightarrow$一次近似 $\rightarrow$ベクトルバンドル
環 $\rightarrow$一次近似 $\rightarrow$環上加群
非線型微分方程式 $\rightarrow$一次近似 $\rightarrow$線形微分方程式
非線型微分方程式とは $[\delta , x ]=1$ を基本とする非可換環の代数であるらしい。$f$が$x$の函数であるとは、代数的にはこの間の積が可換ではないということ。$[\delta_x , f]\not=0$。
\[
\frac{dy}{dx} = f(x,y)なる方程式 \Longleftrightarrow [\delta,y]=f(x,y)なる非可換環の代数
\]
幾何学と代数の双対
定理：多様体$M,N$が同型$\Leftrightarrow$ その上の函数環$C(M),C(N)$が同型
定理：多様体$M,N$が同型 $\Leftrightarrow$ coh($M$),coh($N$)が圏同値
解析関数$\rightarrow$局所 $\rightarrow$ 多項式
多様体$\rightarrow$一次近似 $\rightarrow$ベクトルバンドル
環 $\rightarrow$一次近似 $\rightarrow$環上加群
非線型微分方程式 $\rightarrow$一次近似 $\rightarrow$線形微分方程式
非線型微分方程式とは $[\delta , x ]=1$ を基本とする非可換環の代数であるらしい。$f$が$x$の函数であるとは、代数的にはこの間の積が可換ではないということ。$[\delta_x , f]\not=0$。
\[
\frac{dy}{dx} = f(x,y)なる方程式 \Longleftrightarrow [\delta,y]=f(x,y)なる非可換環の代数
\]
幾何学と代数の双対
定理：多様体$M,N$が同型$\Leftrightarrow$ その上の函数環$C(M),C(N)$が同型
定理：多様体$M,N$が同型 $\Leftrightarrow$ coh($M$),coh($N$)が圏同値
2012年10月23日火曜日
Legendre変換
物理でLegendre変換 $p\dot{x}-H$ ...なんぞと書いたら、これは次を意味するらしい。
\[
p\dot{x} - H = \left\{
\begin{array}{ll}
\mathrm{max}_{p} p\dot{x} - H & \mathrm{Legendre}変換可能な時 \\
p\dot{x} - H & \mathrm{Legendre}変換が出来ないとき \end{array} \right.
\]
\[
p\dot{x} - H = \left\{
\begin{array}{ll}
\mathrm{max}_{p} p\dot{x} - H & \mathrm{Legendre}変換可能な時 \\
p\dot{x} - H & \mathrm{Legendre}変換が出来ないとき \end{array} \right.
\]
2012年10月14日日曜日
piranesiを\(TeX\)で使う
九後さんの本などに使われている、花文字とはちょっと違う柳眉なフォントがあるが、あれはpiranesiという名前のフォントである。小松勇作さんの数学英和・和英辞典にてその真実を確認できる。ネットで探せばttfファイルは容易に入手できるので、あとは$\TeX$で使えればよい。場当たり的にはこのページが参考になった。手順にしたがってafmファイルなどを作り、\(\TeX\)文書のワーキングディレクトリにぶちこんでプリアンブルを調整すれば良い。
2012年9月28日金曜日
座標とベクトル
Minkowski空間$M$上の座標$\{x^\mu\}_{\mu=0,1,2,3}$について、これは4-vectorではない。
点$o$のまわりでの時空のLorentz変換を考えてみよう。すると実際に、
\[
x^\mu(p') = \Lambda^\mu_\nu (x^\nu(p) - x^\nu(o)) + x^\mu(o) = \Lambda^\mu_\nu x^\nu(p) + (1-\Lambda^\mu_\nu)x^\nu(o)
\]
である。わざわざ$o^\mu=0(\mu=0,1,2,3)$となるような座標を選ぶので勘違いしてしまうのである。
項$ (1-\Lambda^\mu_\nu)x^\nu(o)$は変換を決めれば一意に決定される定数項なので、座標から導入される接ベクトル$\partial / \partial x^\mu (\mu=0,1,2,3) $や1-form$dx^\mu (\mu=0,1,2,3) $は紛うことなき4-vectorである。
点$o$のまわりでの時空のLorentz変換を考えてみよう。すると実際に、
\[
x^\mu(p') = \Lambda^\mu_\nu (x^\nu(p) - x^\nu(o)) + x^\mu(o) = \Lambda^\mu_\nu x^\nu(p) + (1-\Lambda^\mu_\nu)x^\nu(o)
\]
である。わざわざ$o^\mu=0(\mu=0,1,2,3)$となるような座標を選ぶので勘違いしてしまうのである。
項$ (1-\Lambda^\mu_\nu)x^\nu(o)$は変換を決めれば一意に決定される定数項なので、座標から導入される接ベクトル$\partial / \partial x^\mu (\mu=0,1,2,3) $や1-form$dx^\mu (\mu=0,1,2,3) $は紛うことなき4-vectorである。
2012年9月26日水曜日
合成写像一考
"LagrangianのLorentz不変性"の意味
ちょっとLagrangianのことを真摯に見直してみよう。
例えば実Klein-Gordon場のLagrangian$\mathscr{L}$は次のように書かれる。
\[
\mathscr{L}(\phi(x),\partial_\mu \phi(x))_{\mu=0..3}=\frac{1}{2}\partial_\mu \phi(x) \partial^\mu \phi(x) - \frac{m^2}{2} \phi(x)^2
\]
だが別に次のように書いたって構わないはずだ。$\mathscr{L}:\mathbb{R}^5\rightarrow\mathbb{R}$として
\[
\mathscr{L}(v,w,x,y,z)=\frac{1}{2}(w^2-x^2-y^2-z^2)-\frac{m^2}{2}v^2
\]
今、たまたま$v$に$\phi(x)$、$w$以下にその微分の値が代入されているだけのことと捉えている。この描像ではLagrangianそのものは時空のLorentz変換とかそういうものとは一切無縁であるが、こういわれると拭いきれぬ違和感が残る。
それもそうで、その理由は、大事なのは合成関数$\mathscr{L}\circ (\phi, \partial_0 \phi,\partial_1 \phi,\partial_2 \phi,\partial_3 \phi):M\rightarrow \mathbb{R} $にあるからだ。ちょっとひねくれてみせただけなので本来は自明すぎて不要な議論なのだろうが、おそらく平時Lagrangianと言う場合はこの合成された関数$\mathscr{L}$のことを指しているのであろう。今は面倒なのでこれを簡略化して$\mathscr{L}\circ \phi$について考えることにする。
今しばし合成関数の議論に寄り道することにする。（以下、なんとなく定義域とか値域といった概念を自然に定義できる射を写像と呼んでいる。あるいは$\mathcal{Sets}$への忘れっぽ関手が存在する圏の射のことを写像と呼ぶ？）
合成写像とは一般に二つの写像$f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C$から構成される写像$g\circ f:A\rightarrow C$のことであるが、重要なのは合成される写像$g$の定義域$\mathrm{dom}(g)$が合成する写像$f$の値域$\mathrm{Im}(f)$に制限されるということである。（する・されるの自然性がここにある）圏語で言えば$\mathrm{Im}$とは圏$\mathscr{C}$上の射の圏$\mathscr{M}_\mathscr{C}$から$\mathscr{C}$への関手$\mathscr{M}_\mathscr{C}\rightarrow\mathscr{C}$であるから、射$f$の（codomainを変えない）変換$e^{\delta}_{A\rightarrow B}:f\mapsto f'$はその像の変換$\mathrm{Im}(e^{\delta}_{A\rightarrow B})=e^{\delta}_B:\mathrm{Im}(f)\mapsto \mathrm{Im}(f')$を伴う。大切なことは、合成される前の射$g$と$f$に合成された$g;g\circ f$とは異なるということだ。合成される前の$g$は$f$の変換とは無縁であるが、合成された後の$g$には$f$の変換から誘導された変換を定義することができる。（時空の変換と座標変換のdiagramを参照。今は$M\rightarrow M$が$\mathrm{Im}(f)\rightarrow \mathrm{Im}(f')$で座標$x$が場$\phi$、$\mathbf{R}^N$が場の値(codomain)である。）
$f$の変換$e^\delta_{A\rightarrow B}$から誘導される$g$の変換を$e^\delta_{B\rightarrow C}$と置けば、これは
\[
g\circ e^\delta_{A\rightarrow B}(f) = e^\delta_{B\rightarrow C}(g)\circ f
\]
であるような変換である。
ここで明文化されたことは、合成関数を考えると、内部の変化を外側へと伝搬させて最外殻の変換に帰着させることができるということだ。
\[
f'(g(h(\cdots k(x)))) = f(g'(h'(\cdots k'(x'))))
\]
ここに物理学でLagrangianを考える意義というものも見いだすことができる。時空や場の変換をすべてLagrangianの変換という共通した視点から捉える事ができるのである。
そして"LagrangianのLorentz不変性"という言葉が意味するところは、時空のLorentz変換を場を経てLagrangianの変換に帰着させたとき、この変換に対してLagrangianが不変であるということである。
きわめてつまらない例を挙げよう。今$\mathscr{L}(\phi(x))=\phi(x)$とおくと、場の水増し変換$I_a(\phi)(x)=\phi(x)+a$はLagrangianの変換$\mathscr{L};x\mapsto x\rightarrow I_a^*(\mathscr{L});x\mapsto x+a$を誘導する。したがって$ I_a^*(\mathscr{L})\not= \mathscr{L} $なので、このLagrangianは水増し変換から誘導される変換$I_a^*$について不変ではない。 $\mathscr{L}(\phi(x))=\partial_x \phi(x)$と置けば、このLagrangian は水増し変換から誘導される変換 $I_a^*$ について不変である。
蛇足であるが、この合成写像にまつわる考え方を普遍的なものにしようとすると、
\[
f'(g(h(\cdots k(x)))) = f(g'(h'(\cdots k'(x'))))
\]
の引数$x$がなんとも特異的である。これには対症療法があって、一つの元からなる集合$\mathbf{1}=\{1\}$を考えれば、$\mathrm{Hom}(\mathbf{1},M)\simeq M; \hat{x};1\mapsto x \sim x$であるから上の式は
\[
f'\circ g \circ h \circ \cdots \circ k \circ x = f\circ g' \circ h' \circ \cdots \circ k' \circ x' \]
と書いても同じことである。
例えば実Klein-Gordon場のLagrangian$\mathscr{L}$は次のように書かれる。
\[
\mathscr{L}(\phi(x),\partial_\mu \phi(x))_{\mu=0..3}=\frac{1}{2}\partial_\mu \phi(x) \partial^\mu \phi(x) - \frac{m^2}{2} \phi(x)^2
\]
だが別に次のように書いたって構わないはずだ。$\mathscr{L}:\mathbb{R}^5\rightarrow\mathbb{R}$として
\[
\mathscr{L}(v,w,x,y,z)=\frac{1}{2}(w^2-x^2-y^2-z^2)-\frac{m^2}{2}v^2
\]
今、たまたま$v$に$\phi(x)$、$w$以下にその微分の値が代入されているだけのことと捉えている。この描像ではLagrangianそのものは時空のLorentz変換とかそういうものとは一切無縁であるが、こういわれると拭いきれぬ違和感が残る。
それもそうで、その理由は、大事なのは合成関数$\mathscr{L}\circ (\phi, \partial_0 \phi,\partial_1 \phi,\partial_2 \phi,\partial_3 \phi):M\rightarrow \mathbb{R} $にあるからだ。ちょっとひねくれてみせただけなので本来は自明すぎて不要な議論なのだろうが、おそらく平時Lagrangianと言う場合はこの合成された関数$\mathscr{L}$のことを指しているのであろう。今は面倒なのでこれを簡略化して$\mathscr{L}\circ \phi$について考えることにする。
今しばし合成関数の議論に寄り道することにする。（以下、なんとなく定義域とか値域といった概念を自然に定義できる射を写像と呼んでいる。あるいは$\mathcal{Sets}$への忘れっぽ関手が存在する圏の射のことを写像と呼ぶ？）
合成写像とは一般に二つの写像$f:A\rightarrow B, g:B\rightarrow C$から構成される写像$g\circ f:A\rightarrow C$のことであるが、重要なのは合成される写像$g$の定義域$\mathrm{dom}(g)$が合成する写像$f$の値域$\mathrm{Im}(f)$に制限されるということである。（する・されるの自然性がここにある）圏語で言えば$\mathrm{Im}$とは圏$\mathscr{C}$上の射の圏$\mathscr{M}_\mathscr{C}$から$\mathscr{C}$への関手$\mathscr{M}_\mathscr{C}\rightarrow\mathscr{C}$であるから、射$f$の（codomainを変えない）変換$e^{\delta}_{A\rightarrow B}:f\mapsto f'$はその像の変換$\mathrm{Im}(e^{\delta}_{A\rightarrow B})=e^{\delta}_B:\mathrm{Im}(f)\mapsto \mathrm{Im}(f')$を伴う。大切なことは、合成される前の射$g$と$f$に合成された$g;g\circ f$とは異なるということだ。合成される前の$g$は$f$の変換とは無縁であるが、合成された後の$g$には$f$の変換から誘導された変換を定義することができる。（時空の変換と座標変換のdiagramを参照。今は$M\rightarrow M$が$\mathrm{Im}(f)\rightarrow \mathrm{Im}(f')$で座標$x$が場$\phi$、$\mathbf{R}^N$が場の値(codomain)である。）
$f$の変換$e^\delta_{A\rightarrow B}$から誘導される$g$の変換を$e^\delta_{B\rightarrow C}$と置けば、これは
\[
g\circ e^\delta_{A\rightarrow B}(f) = e^\delta_{B\rightarrow C}(g)\circ f
\]
であるような変換である。
ここで明文化されたことは、合成関数を考えると、内部の変化を外側へと伝搬させて最外殻の変換に帰着させることができるということだ。
\[
f'(g(h(\cdots k(x)))) = f(g'(h'(\cdots k'(x'))))
\]
ここに物理学でLagrangianを考える意義というものも見いだすことができる。時空や場の変換をすべてLagrangianの変換という共通した視点から捉える事ができるのである。
そして"LagrangianのLorentz不変性"という言葉が意味するところは、時空のLorentz変換を場を経てLagrangianの変換に帰着させたとき、この変換に対してLagrangianが不変であるということである。
きわめてつまらない例を挙げよう。今$\mathscr{L}(\phi(x))=\phi(x)$とおくと、場の水増し変換$I_a(\phi)(x)=\phi(x)+a$はLagrangianの変換$\mathscr{L};x\mapsto x\rightarrow I_a^*(\mathscr{L});x\mapsto x+a$を誘導する。したがって$ I_a^*(\mathscr{L})\not= \mathscr{L} $なので、このLagrangianは水増し変換から誘導される変換$I_a^*$について不変ではない。 $\mathscr{L}(\phi(x))=\partial_x \phi(x)$と置けば、このLagrangian は水増し変換から誘導される変換 $I_a^*$ について不変である。
蛇足であるが、この合成写像にまつわる考え方を普遍的なものにしようとすると、
\[
f'(g(h(\cdots k(x)))) = f(g'(h'(\cdots k'(x'))))
\]
の引数$x$がなんとも特異的である。これには対症療法があって、一つの元からなる集合$\mathbf{1}=\{1\}$を考えれば、$\mathrm{Hom}(\mathbf{1},M)\simeq M; \hat{x};1\mapsto x \sim x$であるから上の式は
\[
f'\circ g \circ h \circ \cdots \circ k \circ x = f\circ g' \circ h' \circ \cdots \circ k' \circ x' \]
と書いても同じことである。
2012年9月18日火曜日
時空の変換と座標変換
なんかゴチャゴチャと書いていたが勘違いをしていたしそんなに力む必要もなかった。（昔のは下にいちおう小文字で残しておきます。）対称性の議論をする際は時空を変換するし、スカラー場やベクトル場の特性をみるときは座標を変換する。しかし場当たり的な表記がそれを混同させる。
物理では時空点を座標表示し場の引数とする。古典場の場合我々に見える量は$\phi(x(p))$である。各々の変換がどのような変化を引き起こすかというと・・・
時空を変換する場合：
\[
\phi(x(p)) \rightarrow \phi(x(p')) = \phi(\Lambda^{-1}x(p)) \]
座標を変換する場合：
\[
\phi(x(p)) \rightarrow \phi(x'(p)) = \phi(\Lambda x(p))
\]
$\Lambda$の方向が変わるのは時空の変換を座標の変換に引き戻しているから。（下のdiagramを参照。）物理ではこれらの左辺を両方とも$\phi '(x(p))$とかいて、次のように表記するのである。
時空を変換する場合：
\[
\phi'(x')=\phi(x)
\]
座標を変換する場合：
\[
\phi'(x)=\phi(x')
\]
ミンコフスキー空間一枚を一つの座標で張れてしまうのでややこしいが、数式上は似ていてもやっていることや物理的哲学はまったく異なるので、厳密にしたいところである。
物理学の文脈でLorentz変換などという言葉が用いられるとき、これが一体何を変換しているのか分からないときがある。おそらく、文脈によって時空に対する変換としてのLorentz変換と座標変換としてのLorentz変換の二通りが混同されていると思われる。あるいは、明確に区別されずに、どちらつかずな状態で使用されているのではないか。事実、Wikipediaでも、冒頭の中だけで『2 つの慣性系の間の座標（時間座標と空間座標）を結びつける線形変換』とあったと思えば『ミンコフスキー空間における 2 点間の世界間隔を不変に保つような、原点を中心にした回転変換を表す。』とあり、混同することはなはだしい。
（ちなみに私はそもそも物理は座標によらないはずなのだから、座標変換としてのLorentz変換には意味がない。Lorentz変換とは時空に対する変換（Minkowski空間に対する作用）である、という立場である。）
ただ、その混同も致し方がないのかなと思う。いま簡単のためにMinkowski空間、もとい一枚の座標で覆い尽くすことのできる空間$M$を考えよう。そして$\Lambda$をLorentz群の元とする。$\Lambda$は$M$に作用する。さらに$M$上の座標$x$を考える。$x$は空間$M$から$\mathbf{R}^N$への写像である。すると、空間$M$上の変換$\Lambda$は自然に座標$x$の変換を誘導するのである！
まとめると、(xyjaxが使えたら！)
では、結局、時空の変換でも座標変換でもどちらでも議論は変わらんじゃないかと思われるかもしれないが、逆に座標変換から空間上の変換が自然に従うかというとそうではないし、空間が曲がり始めると、いよいよ座標変換と言う概念が物理的価値を失う。やはり
（対称性の議論をしている場合においては）
Lorentz変換と言ったら時空の変換なのである。
啖呵を切っておいて間違えているという恥ずかしい場合もあるので、気づいた方はご批判を頂ければ幸いである。
物理では時空点を座標表示し場の引数とする。古典場の場合我々に見える量は$\phi(x(p))$である。各々の変換がどのような変化を引き起こすかというと・・・
時空を変換する場合：
\[
\phi(x(p)) \rightarrow \phi(x(p')) = \phi(\Lambda^{-1}x(p)) \]
座標を変換する場合：
\[
\phi(x(p)) \rightarrow \phi(x'(p)) = \phi(\Lambda x(p))
\]
$\Lambda$の方向が変わるのは時空の変換を座標の変換に引き戻しているから。（下のdiagramを参照。）物理ではこれらの左辺を両方とも$\phi '(x(p))$とかいて、次のように表記するのである。
時空を変換する場合：
\[
\phi'(x')=\phi(x)
\]
座標を変換する場合：
\[
\phi'(x)=\phi(x')
\]
ミンコフスキー空間一枚を一つの座標で張れてしまうのでややこしいが、数式上は似ていてもやっていることや物理的哲学はまったく異なるので、厳密にしたいところである。
物理学の文脈でLorentz変換などという言葉が用いられるとき、これが一体何を変換しているのか分からないときがある。おそらく、文脈によって時空に対する変換としてのLorentz変換と座標変換としてのLorentz変換の二通りが混同されていると思われる。あるいは、明確に区別されずに、どちらつかずな状態で使用されているのではないか。事実、Wikipediaでも、冒頭の中だけで『2 つの慣性系の間の座標（時間座標と空間座標）を結びつける線形変換』とあったと思えば『ミンコフスキー空間における 2 点間の世界間隔を不変に保つような、原点を中心にした回転変換を表す。』とあり、混同することはなはだしい。
（ちなみに私はそもそも物理は座標によらないはずなのだから、座標変換としてのLorentz変換には意味がない。Lorentz変換とは時空に対する変換（Minkowski空間に対する作用）である、という立場である。）
ただ、その混同も致し方がないのかなと思う。いま簡単のためにMinkowski空間、もとい一枚の座標で覆い尽くすことのできる空間$M$を考えよう。そして$\Lambda$をLorentz群の元とする。$\Lambda$は$M$に作用する。さらに$M$上の座標$x$を考える。$x$は空間$M$から$\mathbf{R}^N$への写像である。すると、空間$M$上の変換$\Lambda$は自然に座標$x$の変換を誘導するのである！
まとめると、(xyjaxが使えたら！)
啖呵を切っておいて間違えているという恥ずかしい場合もあるので、気づいた方はご批判を頂ければ幸いである。
2012年9月17日月曜日
物理学科生に対する嫌味？
\[
v^\mu
\]
上の記号を見たときに、これをベクトルだと思っただろうか。それともスカラーだと思っただろうか。
まあ、とりあえず話を変えよう。ベクトルはスカラー倍できて、任意のベクトルは基底の線型結合・・・適当なスカラー倍を施して総和をとることで表現できる。
\[
\mathbf{v} = v^\mu\mathbf{e}_\mu
\]
上の言明を数学的に記述すれば、体$K$上の$n$次元ベクトル空間$V$とその一つの基底$\{\mathbf{e}_\mu\}_{\mu=1,..,n}$に対して、
\[
\forall \mathbf{v} \in V ; \exists v^1,v^2,...,v^n \in K; \mathbf{v} = v^\mu\mathbf{e}_\mu
\]
さて、もう一度一番上にある記号を再掲しよう。
\[
v^\mu
\]
上の記号を見たときに、これをベクトルだと思っただろうか。それともスカラーだと思っただろうか。
実用的な問題を一つ。ローレンツ変換に対して、ベクトルはどのように変換するだろうか。
啖呵を切っておいて間違えているという恥ずかしい場合もあるので、気づいた方はご批判を頂ければ幸いである。
v^\mu
\]
上の記号を見たときに、これをベクトルだと思っただろうか。それともスカラーだと思っただろうか。
まあ、とりあえず話を変えよう。ベクトルはスカラー倍できて、任意のベクトルは基底の線型結合・・・適当なスカラー倍を施して総和をとることで表現できる。
\[
\mathbf{v} = v^\mu\mathbf{e}_\mu
\]
上の言明を数学的に記述すれば、体$K$上の$n$次元ベクトル空間$V$とその一つの基底$\{\mathbf{e}_\mu\}_{\mu=1,..,n}$に対して、
\[
\forall \mathbf{v} \in V ; \exists v^1,v^2,...,v^n \in K; \mathbf{v} = v^\mu\mathbf{e}_\mu
\]
さて、もう一度一番上にある記号を再掲しよう。
\[
v^\mu
\]
上の記号を見たときに、これをベクトルだと思っただろうか。それともスカラーだと思っただろうか。
実用的な問題を一つ。ローレンツ変換に対して、ベクトルはどのように変換するだろうか。
啖呵を切っておいて間違えているという恥ずかしい場合もあるので、気づいた方はご批判を頂ければ幸いである。
2012年8月30日木曜日
グレブナー基底と解のチョイス
グレブナー基底の計算をするとき、解が一意に求まったあかつきには求める変数についての一次式が帰ってくるが、解が二つ存在する場合には求める変数のうちの一つの二次式を含む形で帰って来る。
このときは次のような計算をすることによって片方の解を選び出すことができる。もし変数xについて2通りの解のうち
_______
-b + √ D(a,b,c)
x = -------------------
2a
を選びたいのであれば、与える方程式系に
2a * x - ( -b + A) , D(a,b,c) - A^2
を加え再びグレブナー基底を求める。ただしパラメータa, b, c をA で覆い隠したことによって多項式表現の一意性が崩れているため、再びAに√Dを代入し整理をする必要がある。
このときは次のような計算をすることによって片方の解を選び出すことができる。もし変数xについて2通りの解のうち
_______
-b + √ D(a,b,c)
x = -------------------
2a
を選びたいのであれば、与える方程式系に
2a * x - ( -b + A) , D(a,b,c) - A^2
を加え再びグレブナー基底を求める。ただしパラメータa, b, c をA で覆い隠したことによって多項式表現の一意性が崩れているため、再びAに√Dを代入し整理をする必要がある。
2012年8月18日土曜日
2012年8月2日木曜日
Wifi Radar
Gentoo でWifi Radar を使おうとすると
File "/usr/sbin/wifi-radar", line 178
except OSError, exception:
^
SyntaxError: invalid syntax
というエラーがでるが、これはスクリプトがpython2用だかららしい。
したがって一行目の
#!/usr/bin/python -OO
を
#!/usr/bin/python2 -OO
に変えてやればよい。
c.f. https://bugs.archlinux.org/task/21543
File "/usr/sbin/wifi-radar", line 178
except OSError, exception:
^
SyntaxError: invalid syntax
というエラーがでるが、これはスクリプトがpython2用だかららしい。
したがって一行目の
#!/usr/bin/python -OO
を
#!/usr/bin/python2 -OO
に変えてやればよい。
c.f. https://bugs.archlinux.org/task/21543
2012年7月10日火曜日
物理学における1=2問題の対処法
a = b
2a = a+b (両辺にaを足す)
2a - 2b = a - b (両辺から2bを引く)
2(a-b) = a-b
2 = 1 ?
と言うネタがあるが、これは物理では次のように計算する。
a = b <=> a - b = 0 なのだが、εを「とても小さい数」として、a - b = ε とおく。すると
a = b+ε
2a = a+b+ε
2(a - b) = a - b+ε
2ε=2ε (a-bをεに置き換える)
2=2 (ここでεを0にしa=bに戻しても矛盾しない。)
2a = a+b (両辺にaを足す)
2a - 2b = a - b (両辺から2bを引く)
2(a-b) = a-b
2 = 1 ?
と言うネタがあるが、これは物理では次のように計算する。
a = b <=> a - b = 0 なのだが、εを「とても小さい数」として、a - b = ε とおく。すると
a = b+ε
2a = a+b+ε
2(a - b) = a - b+ε
2ε=2ε (a-bをεに置き換える)
2=2 (ここでεを0にしa=bに戻しても矛盾しない。)
2012年3月14日水曜日
unzip における文字化け解消（Gentoo）
sudo USE="natspec" ACCEPT_KEYWORDS="~*" emerge -avt zip unzip
こちらhttp://insnvlovn.blogspot.com/2011/06/unzip.html#sidebar に救われました。
こちらhttp://insnvlovn.blogspot.com/2011/06/unzip.html#sidebar に救われました。
2012年2月20日月曜日
Leibniz rule と Category
なんとなくLeibniz rule を以下のように表現してもよいような気がするのだが、どうだろう。
直和と和をつなげたいというのは安直かな。
2016/2/4追記
せっかくxyjaxを入れていたので
\[
\xymatrix{
(\nabra E_1)\otimes E_2 \ar[r] \ar[rd] & \nabra (E_1 \otimes E_2) \ar[d] & E_1 \otimes (\nabra E_2) \ar[ld] \\ & T^*M\otimes E_1 \otimes E_2
}
\]
2012年2月11日土曜日
2012年2月8日水曜日
emacs での正規表現を用いた置換
M-x replace-regexp RET string RET newstring
で行う。
string=\\frac{d\([a-z]\)^\([0-9]\)}{dt}
newstring=\verb|\\dot{\1}^\2)
の場合は、
\frac{dx^1}{dt} & \frac{dy^1}{dt} \\
\frac{dx^2}{dt} & \frac{dy^2}{dt} \\
が
\dot{x}^1 & \dot{y}^1 \\
\dot{x}^2 & \dot{y}^2 \\
に！とても便利。newcommand によるマクロ処理が不要になるくらいの。と言ったら言いすぎか。
で行う。
string=\\frac{d\([a-z]\)^\([0-9]\)}{dt}
newstring=\verb|\\dot{\1}^\2)
の場合は、
\frac{dx^1}{dt} & \frac{dy^1}{dt} \\
\frac{dx^2}{dt} & \frac{dy^2}{dt} \\
が
\dot{x}^1 & \dot{y}^1 \\
\dot{x}^2 & \dot{y}^2 \\
に！とても便利。newcommand によるマクロ処理が不要になるくらいの。と言ったら言いすぎか。
2012年1月16日月曜日
flat torus
Blender + python でflat torus がZW平面を回転している様子をアニメーションにしてみた。
おそらく理系研究者が３DCGを扱う上ではこの組み合わせがもっとも手っ取り早いと思われる。詳細は、その気になったら後日・・・
おそらく理系研究者が３DCGを扱う上ではこの組み合わせがもっとも手っ取り早いと思われる。詳細は、その気になったら後日・・・
2012年1月12日木曜日
TeXで添字を揃える
一般相対論なんかのために
\newcommand\ind[3]{{\hspace{0pt}\scriptsize
\renewcommand\arraystretch{0.7} \arraycolsep=0pt ￥begin{array}{#1} #2 \\#3 \end{array}}}
\newcommand\ind[3]{{\hspace{0pt}\scriptsize
\renewcommand\arraystretch{0.7} \arraycolsep=0pt ￥begin{array}{#1} #2 \\#3 \end{array}}}
※）MathJaxを避けるためにbegin{array}...のまえの円マークが全角になっています。
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