座標とベクトル

Minkowski空間$M$上の座標$\{x^\mu\}_{\mu=0,1,2,3}$について、これは4-vectorではない。

点$o$のまわりでの時空のLorentz変換を考えてみよう。すると実際に、
\[
x^\mu(p') = \Lambda^\mu_\nu (x^\nu(p) - x^\nu(o)) + x^\mu(o) = \Lambda^\mu_\nu x^\nu(p) + (1-\Lambda^\mu_\nu)x^\nu(o)
\]
である。わざわざ$o^\mu=0(\mu=0,1,2,3)$となるような座標を選ぶので勘違いしてしまうのである。

項$ (1-\Lambda^\mu_\nu)x^\nu(o)$は変換を決めれば一意に決定される定数項なので、座標から導入される接ベクトル$\partial / \partial x^\mu (\mu=0,1,2,3) $や1-form$dx^\mu (\mu=0,1,2,3) $は紛うことなき4-vectorである。