シンプレクティック形式とディラック括弧

$2n$次元シンプレクティック空間$M$上ではシンプレクティック形式$\omega = \sum_{i=1}^n  dp^i \wedge  dq^i\in T^* M\otimes T^*M $によってある0形式$f$と$df=\omega(X_f)$なるベクトル場$X_f$が対応する。ここで $T^* M\otimes T^*M \simeq TM\rightarrow T^*M$なので引数の数によって $\omega$をどちらの集合の元として見ているかを区別している。

これからベクトル場$X_f$の具体的な表式を求める。ダルブー座標$(z^1,z^2,...,z^{2n})=(q^1,q^2,...,q^n, p^1,p^2,...,p^n)$ を用いて
\[
X_f = \sum_{k=1}^{2n}X_f^k  \frac{\partial}{\partial z^k} = \sum_{i=1}^n A^i \frac{\partial}{\partial q^i}+ B^i \frac{\partial}{\partial p^i}
\]
とすると
\[
\omega(X_f) = \sum_{k=1}^{2n}X_{f,k} dz^k =  \sum_{i=1}^n   B^i dq^i  - A^i dp^i
\]
ただし$X_{f,k} = \Omega_{kl}X_f^l$で$\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\-I_n & 0 \end{pmatrix}$。

今$df-\omega(X_f)=0$なる式は
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q^i} - B_i \right) dq^i +  \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial p^i} + A_i \right) dp^i = 0
\end{equation}
と書けるので最終的に
\[
X_f =  \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial q^i}   \frac{\partial}{\partial p^i} -  \frac{\partial f}{\partial p^i} \frac{\partial}{\partial q^i}
\]
となる。二つの0形式$f,g$について
\[
[f,g]_{P}=\omega(X_f, X_g) = -X_f g =  \frac{\partial f}{\partial p^i} \frac{\partial g}{\partial q^i} -  \frac{\partial f}{\partial q^i}   \frac{\partial g}{\partial p^i}
\]
なる量を$f,g$のポアソン括弧という。もしかしたら慣例的記法と符号が異なるかもしれない。

いま拘束された $M$にの部分空間もまたシンプレクティック空間となるように 拘束条件$\phi^A=0(A=1,...,2m)$を置く。すると式(1)において$dq^\ast, dp^\ast$らは線型独立ではないためラグランジュの未定乗数$\lambda_A$を導入する。ここで$\ast$はワイルドカードである。この条件に拘束されたベクトル場$X_f$を$\bar{X}_f$と書くことにすると、$df-\omega(\bar{X}_f)-\sum_A\lambda_A\phi^A=0$は
\[
 \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q^i} - \bar{B}_i -\sum_A\lambda_A   \frac{\partial \phi^A}{\partial q^i}  \right) dq^i +  \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial p^i} + \bar{A}_i - \sum_A\lambda_A   \frac{\partial \phi^A}{\partial p^i}  \right) dp^i = 0
\]
と書けて
\[
 \bar{X}_f =  \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial q^i}- \lambda_A   \frac{\partial \phi^A}{\partial q^i} \right)  \frac{\partial}{\partial p^i} -  \left( \frac{\partial f}{\partial p^i} - \lambda_A   \frac{\partial \phi^A}{\partial p^i}   \right) \frac{\partial}{\partial q^i}
\]
が求まる。$ \sum_A$は省略した。 今拘束条件$\phi^A=0$下におけるポアソン括弧は
\[
[f,g]_D = -\bar{X}_f g = [f,g]_P - \lambda_A [\phi^A,g]_P
\]
となって、これを$f$と$g$とのディラック括弧という。