svg のbounding box

Mathjax では対応できない$\mathrm{\TeX}$ の図表や式をhtml に載せるならsvg 形式がよいとおもうが、dvi -> pdf -> svg ではbounding box がa4のままである。dvi ->　ps -> eps -> pdf -> svg とやればps2eps がbonding box を調整してくれるので dvips, ps2eps, epstopdf and pdf2svg だけでうまくいく。

圏の双対のイメージ？

eqaulizerというのがあってこれは二つの射をeqaulizeする。一方coeqaulizerは同値類で割ることの圏論的形式とでも言うべきものであるから、強いて言えばeqaulizeされているのは対象の中の要素だといえよう。まさに要素$\leftrightarrow$写像の双対性である。

raiseboxの高さ、深さ

$\mathrm{\TeX}$ におけるraiseboxの高さ、深さの意味がよく分からなかったので記録。なおmathjaxでは使用できない模様。
\[
{\raisebox{3ex}[0ex][0ex]{x}}^a_b,~
{\raisebox{0ex}[3ex][0ex]{x}}^a_b,~
{\raisebox{0ex}[0ex][3ex]{x}}^a_b
]\

ソリトンと相互作用とČech

\begin{eqnarray}
2 &=& 1_1 + 1_2 - c( 1_1, 1_2) \\
3 &=& 1_1 + 1_2 + 1_3 - c( 1_1, 1_2) - c( 1_2, 1_3) - c( 1_3, 1_1) + c( 1_1, 1_2, 1_3)  \\
&=& 2_{12} + 2_{23} + 2_{31} + c(1_1,1_2,1_3)\\
4 &=& 3_{123} + 3_{234} + 3_{341}+3_{412} - c(1_1,1_2,1_3,1_4)
\end{eqnarray}

Čech cohomology

$f: U_1\cap U_2\cap \cdots\cap U_n \mapsto a\Leftrightarrow f(1,2,...,n)=a$
\begin{eqnarray}
(\delta f)(1, 2) &=& f(1) + f(2) \\
(\delta f)(1,2,3) &=& f(1,2) + f(2,3) + f(3,1) \\
(\delta f)(1,2,3,4) &=& f(1,2,3) + f(2,3,4) + f(3,4,1) + f(4,1,2)
\end{eqnarray}

イメージ的に$c(1_1,1_2,...,1_r)$は$H^r(\mathcal{U}; A)$の元？

リーマンの曲率テンソルの一つの導出法

リーマンの曲率テンソルを導入するのに共変微分の交換$[D_\mu,D_\nu]$を用いるのが形式的に便利であるが、次のような方法もある。内山龍雄「一般ゲージ場論序説」を参考にしました。

接続（Christoffel 記号）の座標変換は$\Gamma' = T^{-1}\Gamma T + T^{-1}dT$で与えられるから、時空が平坦であるということは$ \exists T; \Gamma = T^{-1}dT$である。従って
\begin{eqnarray}
 &&dT = T\Gamma \\
&\Leftrightarrow& dT\wedge \Gamma + Td\Gamma =0 \\
&\Leftrightarrow& T\left(\Gamma \wedge\Gamma + d\Gamma\right)=0
\end{eqnarray}
より、$R\equiv d\Gamma+ \Gamma \wedge\Gamma = 0$ならば時空は平坦であり、時空が曲がっていればそうはならない。

復習計算メモ

\begin{equation}
\left[ \hat{p}, \hat{x} \right] = -i\hbar,\ \left[ \partial/\partial x, x \right] = 1
\end{equation}
\begin{eqnarray}
 & &  \langle x|  \left[ \hat{p}, \hat{x} \right] |\psi \rangle \\
 &=& \int dx'\langle x|  \left[ \hat{p}, \hat{x} \right] | x' \rangle \langle x'|\psi \rangle \\
&=&  \int dx' \int dx'' \left\{ \langle x| \hat{p} |x''\rangle \langle x''| \hat{x}   | x' \rangle
-  \langle x| \hat{x} |x''\rangle \langle x''| \hat{p}  | x' \rangle  \right\} \langle x'|\psi \rangle \\
&=& \int dx' \int dx'' \left\{ p(x,x'') x' \delta(x'' - x') - x'' \delta(x-x'')  p(x'',x') \right\}\psi(x') \\
&=&  \int dx' \{ p(x,x') x' - x p(x,x') \}\psi(x')\\
&=& -i\hbar \psi(x)\\
&=&   \langle x|  (-i\hbar) | \psi \rangle
\end{eqnarray}
where $p(x,x') = \langle x| \hat{p} | x' \rangle $.
\begin{equation}
 \therefore p(x,x') = -i\hbar\delta(x-x') \frac{\partial}{\partial x'},\ \langle x | \hat{p} |\psi \rangle = -i\hbar \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
&&  p\langle x | p \rangle \\
&=& \langle x |\hat{p}| p \rangle \\
&=& -i\hbar \partial/\partial x  \langle x | p \rangle
\end{eqnarray}
\begin{equation}
\therefore  \langle x | p \rangle = \exp\{ i x p /\hbar\}
\end{equation}

不変量と変換$\delta$

不変量が生成するイデアルが凖同型$\delta - 1 $（変換の差分）に対応することを考えると、厳密に不変量と変換は双対だ。$\mathrm{ker}(\delta - 1) = (\mathrm{invariants})$。$\delta -1$がnilpotentならコホモロジー類が定義できて、・・・。

ちなみに$(\delta - 1)^2=0$ならば$\delta (\delta -1) = \delta - 1$なので、$\delta -1 $そのものもまた$\delta $の不変量である。

完全列

\[
0 \rightarrow 1 \rightarrow 1\oplus 2  \rightarrow  2\oplus  3 \rightarrow 3\oplus 4  \rightarrow \cdots
\]
というやりかたで手軽にresolutionを作れる。

指数関数の再帰的？定義

指数関数は再帰的に定義することができる？
\[
f_n (x) = 1 + x\frac{ f_{n+1}(x) }{n+1}
\]
として、$\exp(x)\equiv f_0(x)$である。ネイピア数$e$は
\[
e_n = 1 + \frac{ e_{n+1} }{ n+1 }
\]
として、$e\equiv e_0$である。一般に$C^\omega$級関数は
\[
f_n(x) = f^{(n)}(a) +  (x-a)\frac{ f_{n+1}(x) }{n+1}
\]
として、$f(x)\equiv f_0(x)$と表せる。一般に
\[
\exp(ax) \equiv \lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + a\frac{x}{n}\right)^n
\]
なる定義は微小変換の「積み重ね」として表せる大局的変換としての性質を、
\[
\exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
\]
なる定義は微分$d/dx$の固有ベクトルとしての性質を反映している。上の再帰的定義はどのような性質を反映したものであろうか。

ちなみにFourier展開の場合、 元の関数を$f$、展開係数を$a_n$とすると
\[
f_n(x) = a_n + e^{i x} f_{n+1}(x)
\]
として、$f(x) \equiv f_{-\infty} (x)$である。

関数型、オブジェクト指向

1+1という行為に対して、

1. 整数型の引数を二つ取り、整数型の値を返す + なる二項演算子に引数1, 1を与えようと考えるのが関数型。
2. 整数クラスのインスタンスである1 に引数として整数クラスのインスタンスを取るメッセージ + を送ってろう(メッセージング)と考えるのがアラン・ケイ流オブジェクト指向。
3. 整数クラスのインスタンスである1 に引数として整数クラスのインスタンスを取るメソッドを呼び出そうと考えるのがビャーネ・ストロヴストルップ流オブジェクト指向。

であろうか。模式的に書くなら

1. add(1, 1)
2. 1 add: 1
3. 1.add(1)

プログラミングに関する概念は幾つかの階層に分かれるのがややこしいですね。〜(指向 or 型)プログラミング言語を用いて〜(指向 or 型)プログラミングを行う。という文章が成り立つと思います。

fold と unfold (gauche)

リスト(1 2 3)というものは次のようにして構成されます。

(cons 1 (cons 2 (cons 3 '())))

(cons a b) を　(a . b) と書くことにすれば、

(1 . (2 . (3 . '())))

です。ところで、自然数123というのは、通常10進法で表記しているわけですが、これは次のようにして定義されています。

3 + 10*( 2 + 10*(1 + 10*0)))

似ていますね。このような対象同士を相互に変換するのがfold とunfold-right です。

(fold (lambda (a b) (+ (* b 10) a )) 0 '(1 2 3)) ==> 123
(unfold-right zero? (lambda (n) (modulo n 10))
                    (lambda (n) (quotient n 10))
                    123)                         ==> (1 2 3)

unfold だとリストの構造上逆に表記されます。その場合fold-right で元に戻ります。
(unfold zero? (lambda (n) (modulo n 10))
              (lambda (n) (quotient n 10))
              123)                                     ==> (3 2 1)
(fold-right (lambda (a b) (+ (* b 10) a )) 0 '(3 2 1)) ==> 123

テスト(コピペ)

研究室のサーバーを管理するついでにxyjaxをインストールしたのでダイアグラムが描けるようになりました。拡大しても美しい$\mathrm{\TeX}$の魅力はhtmlでも・・・
\[
\begin{xy}
\xymatrix {
U \ar@/_/[ddr]_y \ar@{.>}[dr]|{\langle x,y \rangle} \ar@/^/[drr]^x \\
& X \times_Z Y \ar[d]^q \ar[r]_p & X \ar[d]_f \\
& Y \ar[r]^g & Z
}
\end{xy}
\]

人間の思考と矢印

人間の思考と矢印の向きは不思議なことに逆であることが多い。例えば$A$が$B$を含む、と言った場合はinjection $A\leftarrow B$を定義するのが自然である。物理などにおける変数変換も同様で、$x$を$x'$に変換する、などと言ったときに定義されるのは$x \leftarrow x'$なる関数である。しかし教科書などでは日本語通りに$x\rightarrow x'$と書いてしまうので注意が必要である。

交換子・反交換子のLeibniz rules と Jacobi identities

\begin{eqnarray}
 [a,bc] &=& [a,b]c+b[a,c] \\
        &=& \{a,b\}c-b\{a,c\} \\
 \{a,bc\} &=& [a,b]c + b\{a,c\} \\
        &=& \{a,b\}c - b[a,c]
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
 [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]] &=& 0 \\
 [A,[B,C]]-\{B,[C,A]\}+[C,\{A,B\}] &=& 0 \\
 [A,[B,C]]+\{B,\{C,A\}\}-\{C,\{A,B\}\} &=& 0 \\
 [\{A,B\},C] - \{B,[A,C]\}-\{A,[B,C]\} &=& 0 \\
\end{eqnarray}
and their cycs. ほかにもあるかもしれない。

Mac OS X のリカバリにおける固定IP及びproxyの設定

Mac OS X (Lion) をリカバリーするためには起動時にcommand+R を入力することでMac OS X ユーティリティを開き、諸操作を行う必要がある。このときDHCPが有効でなければ不可能、あるいはproxyを設定しなければならない環境下においては不可能という記述を目にしたが([1], [2])、そんなことはない！嘘の情報を流すのは止めていただきたい！私の数時間を返してくれ！ということで、この記事は日本語で固定IPおよびproxyの設定方法を記すものである。「このコンピュータのインストール情報が見つかりませんでした」なるメッセージに阻まれている場合はこの記事が役立つかもしれない。

いずれもユーティリティタブからターミナルを開いてここで設定を行う。

・固定IPアドレスの設定([3]を参照)
networksetup -setmanual "接続方法" "IPアドレス" "サブネットマスク" "デフォルトゲートウェイ"

接続方法はnetworksetup -listnetworkserviceorderで確認できる。

・DNSサーバの設定([3]を参照)
networksetup -setdnsservers "接続方法" "優DNS" "代DNS"

・proxyの設定([4]を参照)
networksetup -setwebproxy "接続方法" "URL" "ポート番号"


認証proxyサーバの場合はどうしたらよいのか分からなかったので、proxyの設定については試していない。（私の環境では固定IP or DHCP & 認証proxyの2択であった）



[1] http://support.apple.com/kb/HT4718?viewlocale=ja_JP
[2] http://allabout.co.jp/gm/gc/385788/

[3] http://support.apple.com/kb/HT5034
[4] http://hints.macworld.com/article.php?story=20120403034830403

geogebra

geogebraというソフトがあることを知ったので九点円を描いて動かしてみました。

かつと直積

リー群とは群かつ多様体のようなものだが、圏論の言葉では、群の圏および多様体の圏への忘却関手をもつものの中で最も普遍的なもの、と言える。ダイアグラムを書けば一目瞭然であるが、これは直積の定義そのものである。論理積との対応を見よ。記号体系の恐ろしい程のwell-definednessがここにある。

texのenumerateで番号を継続させる。

enumerate環境において番号をリセットさせずに続けたいとき:

1 ...
2 ...

ちょめちょめ

3 ...

label, refを用いて、

¥begin{itemize}
¥item ...
¥item ...
¥label{hoge}
¥end{itemize}

ちょめちょめ

¥begin{itemize} ¥setcounter{enumi}{¥ref{hoge}}
¥item ...
¥end{itemize}

とすればOK。一回目のコンパイルでは¥ref に数字が入っていないのでエラーが出るが、無視して続けたあとにもう一回回せばちゃんと数字が入っている。

正規表現メモ

Emacsのreplace-regexpで代数計算ソフトからコピペでCに移すときに。

変数がアルファベットの小文字一文字で数式が

...+ N x^n + ...

と表示される場合、

\([a-z]\)  ---> *\1

としてから

\([a-z]\)^\([0-9]+\)  ---> pow(\1,\2)

で吉。

時空物質双対性

アインシュタイン方程式の二つの表式
\[
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu}R = \kappa T_{\mu\nu}
\]
\[
\frac{1}{\kappa}R _{\mu\nu}= T_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu}T
\]
は時空と物質が対称であると言ってる気がする。時空物質対称性というのはちょっと面白い響きだ。代数と幾何との双対性（空間の同型性と函数環あるいは導来圏の同型性）に通じるところがありそう。

主$G$束

下のことが腑に落ちれば諸概念のエレガントな理解につながると思うのだがどうも至らない。正しいという確証もない。

短完全列
\[
0\longrightarrow G \longrightarrow P \longrightarrow M  \longrightarrow 0
\]
があると、$M\simeq P/G$が成り立つ。じゃあ$P$は直積$P\simeq M\times G$かというとそうとは限らなくて、局所的に直積で書けるなら主$G$束とよばれるものになる。局所的には直積で書けるという条件は局所的には分裂するとも言い換えられる。この分裂を切断と呼ぶ。圏論的には同型な対象は区別しないので$\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times G$などといった写像をわざわざ定義する必要はない。

また短完全列
\[
0 \longrightarrow P\times_{\mathrm{Ad}} \mathfrak{g}  \longrightarrow TP/G  \longrightarrow TM  \longrightarrow 0
\]
が分裂するとき（必ず 分裂 する？）その 分裂 射を主$G$束$P$における接続と呼ぶ。（c.f. 小林昭七「接続の微分幾何学とゲージ理論」）

上の短完全列は局所的に
\[
0  \longrightarrow U\times \mathfrak{g}   \longrightarrow  U\times \mathbb{R}^r\times\mathfrak{g}  \longrightarrow U\times \mathbb{R}^r   \longrightarrow 0
\]
と書ける。 つまり接続もとい 分裂 は本質的には$TU\simeq U\times \mathbb{R}^r$から$\mathfrak{g}$を決める写像すなわち$U$上の$\mathfrak{g}$値１形式である。