指数関数の再帰的？定義

指数関数は再帰的に定義することができる？
\[
f_n (x) = 1 + x\frac{ f_{n+1}(x) }{n+1}
\]
として、$\exp(x)\equiv f_0(x)$である。ネイピア数$e$は
\[
e_n = 1 + \frac{ e_{n+1} }{ n+1 }
\]
として、$e\equiv e_0$である。一般に$C^\omega$級関数は
\[
f_n(x) = f^{(n)}(a) +  (x-a)\frac{ f_{n+1}(x) }{n+1}
\]
として、$f(x)\equiv f_0(x)$と表せる。一般に
\[
\exp(ax) \equiv \lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + a\frac{x}{n}\right)^n
\]
なる定義は微小変換の「積み重ね」として表せる大局的変換としての性質を、
\[
\exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
\]
なる定義は微分$d/dx$の固有ベクトルとしての性質を反映している。上の再帰的定義はどのような性質を反映したものであろうか。

ちなみにFourier展開の場合、 元の関数を$f$、展開係数を$a_n$とすると
\[
f_n(x) = a_n + e^{i x} f_{n+1}(x)
\]
として、$f(x) \equiv f_{-\infty} (x)$である。