リーマンの曲率テンソルの一つの導出法

リーマンの曲率テンソルを導入するのに共変微分の交換$[D_\mu,D_\nu]$を用いるのが形式的に便利であるが、次のような方法もある。内山龍雄「一般ゲージ場論序説」を参考にしました。

接続（Christoffel 記号）の座標変換は$\Gamma' = T^{-1}\Gamma T + T^{-1}dT$で与えられるから、時空が平坦であるということは$ \exists T; \Gamma = T^{-1}dT$である。従って
\begin{eqnarray}
 &&dT = T\Gamma \\
&\Leftrightarrow& dT\wedge \Gamma + Td\Gamma =0 \\
&\Leftrightarrow& T\left(\Gamma \wedge\Gamma + d\Gamma\right)=0
\end{eqnarray}
より、$R\equiv d\Gamma+ \Gamma \wedge\Gamma = 0$ならば時空は平坦であり、時空が曲がっていればそうはならない。