主$G$束

下のことが腑に落ちれば諸概念のエレガントな理解につながると思うのだがどうも至らない。正しいという確証もない。

短完全列
\[
0\longrightarrow G \longrightarrow P \longrightarrow M  \longrightarrow 0
\]
があると、$M\simeq P/G$が成り立つ。じゃあ$P$は直積$P\simeq M\times G$かというとそうとは限らなくて、局所的に直積で書けるなら主$G$束とよばれるものになる。局所的には直積で書けるという条件は局所的には分裂するとも言い換えられる。この分裂を切断と呼ぶ。圏論的には同型な対象は区別しないので$\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times G$などといった写像をわざわざ定義する必要はない。

また短完全列
\[
0 \longrightarrow P\times_{\mathrm{Ad}} \mathfrak{g}  \longrightarrow TP/G  \longrightarrow TM  \longrightarrow 0
\]
が分裂するとき（必ず 分裂 する？）その 分裂 射を主$G$束$P$における接続と呼ぶ。（c.f. 小林昭七「接続の微分幾何学とゲージ理論」）

上の短完全列は局所的に
\[
0  \longrightarrow U\times \mathfrak{g}   \longrightarrow  U\times \mathbb{R}^r\times\mathfrak{g}  \longrightarrow U\times \mathbb{R}^r   \longrightarrow 0
\]
と書ける。 つまり接続もとい 分裂 は本質的には$TU\simeq U\times \mathbb{R}^r$から$\mathfrak{g}$を決める写像すなわち$U$上の$\mathfrak{g}$値１形式である。