メモ・harmonic superspace とtwistor

※あまり自信がありません。

 Twistor Theory

R. Penrose はMinkowski空間上のnull line をspinorでパラメトライズするという発想からtwistor理論を創始した。(complexified compactified) Mikowski space $\mathbb{M}$上のnull line (plane) はtwistor space $\mathbb{T}=\mathbb{C}P^3$上の点に対応し、$\mathbb{M}$上の点はそれを通るnull line (plane)全体と対応する$\mathbb{T}$内の部分空間$\mathbb{C}P^1$を定める。（このsphere $S^2\simeq \mathbb{C}P^1$は$S^2\simeq SL(2,\mathbb{C}）/B$、$B$は$SO(1,3)\simeq SL(2,\mathbb{C})$のBorel subgroup、という形でもとのLorentz群と関連するらしい。）なお(compactified) Euclid space $S^4$に対してはnull なobjectが存在しないので単なる$\mathbb{C}P^1$ fibration $\mathbb{C}P^3 \rightarrow S^4$ が定まる。twistor space $\mathbb{C}P^3$上の正則なベクトル束が$S^4$上のself-dual Yang—Mills equation の解と対応することを明らかにしたのがWard transformation でありADHM構成であった。このようにしてtwistor はself-duality と密接なかかわりを持っている。

Harmonic Superspace

Harmonic superspace はその上のsuper fieldがある種の$\mathcal{N}=2$ supermultiplet を導くような空間であり、$\mathbb{R}^{4|8}\times S^2$である。ここで$\mathbb{R}^{4|8}$は$(x^a,\theta^{\alpha}_i,\bar{\theta}^{\dot{\alpha}i}),i=1,2$でパラメトライズされる空間で、$S^2\simeq SU(2)/U(1)$である。この$SU(2)$は$\mathcal{N}=2$超ポアンカレ代数に作用する。最初に「ある種の」といったのは、$S^2$方向における微分がharmonic superspace上の関数に対するCauchy—Riemann conditionを与えるからである。すなわちharmonic superspaceは“性質の良い”$\mathcal{N}=2$ 超対称性理論を与える。

TTとHS

$S^2$を付すことによって理論に構造をあたえるこの両手法の関連はとりもなおさずself-duality とCauchy—Riemann conditionとの関係に帰すことができる。Cauchy—Riemann condition $\partial/\partial\bar{z} f(z,\bar{z})=0$の形式は一般にchiral condition と言ってもよかろう。一方でself-dual condition もこのchiral conditionの形に書くことができる。$F_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}=0$は$[D^
{++},D^+_{\alpha}]=0$と等価。ここで$D^{++}=u^{+i}\partial/\partial u^{-i}$、$D^+_{\alpha}=u^{+\dot{\alpha}}D_{\alpha\dot{\alpha}}$、$u$は$S^2\simeq\mathbb{C}P^1$の座標である。（twistorの文脈でコホモロジーが色々出てくるのは高次元版Cauchy—Riemann conditionを処理するためとも言える。）この式はclassical master equationでもあり、ここからさらなる普遍性への扉が開かれる。

 参考文献

1. R. S. Ward and R. O. Wells jr, "Twistor Geometry and Field Theory", Cambridge University Press, 1990
2. A. S. Galperin, E. A. Ivanov, V. I.  Ogievetsky and E. S. Sokatchev, "Harmonic Superspace", Cambridge University Press, 2001