unshuffle

$L_\infty$-algebra の定義にunshuffleというのが出てきてすこし時間をとられたのでメモ。参考にしたのは nLab。

定義 $\sigma \in \mathfrak{S}_{n,k}$がunshuffle であるとは、$0\leq k\leq n$であって$\sigma(1)<\cdots<\sigma(k)$かつ$\sigma(k+1)<\cdots<\sigma(n)$。

例
\[
\left(
\begin{array}{ccc|cc}
1& 2 & 3& 4 & 5 \\  1&3&5&2&4
\end{array}\right) \in \mathfrak{S}_{3,5}
\]
\[
\left(
\begin{array}{c|c}
1& 2 \\  2&1
\end{array}\right) \in \mathfrak{S}_{1,2}
\]
\[
\left(
\begin{array}{cc|}
1& 2 \\  2&1
\end{array}\right) \not\in \mathfrak{S}_{2,2}
\]