Weierstraß の楕円関数と楕円曲線上の点の加法

楕円曲線$C$上の加法は無限遠点を原点$O$として曲線$C$と$y$軸に平行な直線との二交点を$P$、$P'$として$P+P'=O$、また曲線$C$と適当な直線$\ell$との三交点を$A$、$B$、$C$として$A+B+C=O$で定義される。

楕円曲線上の点はWeierstrassßの$\wp$関数とその微分を用いて表わされるが、次の$\wp$関数に対する恒等式が楕円曲線上の点の加法に対応する。
\[
\begin{pmatrix}
\wp(a) & \wp'(a) & 1 \\
\wp(b) & \wp'(b) & 1 \\
\wp(c) & \wp'(c) & 1
\end{pmatrix}=0
\]
ただし$a+b+c=0$。また$A=(\wp(a),\wp'(a))$、$B=(\wp(b),\wp'(b))$、$C=(\wp(c),\wp'(c))$で$A+B+C=O$。