リーマンの曲率テンソルの一つの導出法

リーマンの曲率テンソルを導入するのに共変微分の交換$[D_\mu,D_\nu]$を用いるのが形式的に便利であるが、次のような方法もある。内山龍雄「一般ゲージ場論序説」を参考にしました。

接続（Christoffel 記号）の座標変換は$\Gamma' = T^{-1}\Gamma T + T^{-1}dT$で与えられるから、時空が平坦であるということは$ \exists T; \Gamma = T^{-1}dT$である。従って
\begin{eqnarray}
 &&dT = T\Gamma \\
&\Leftrightarrow& dT\wedge \Gamma + Td\Gamma =0 \\
&\Leftrightarrow& T\left(\Gamma \wedge\Gamma + d\Gamma\right)=0
\end{eqnarray}
より、$R\equiv d\Gamma+ \Gamma \wedge\Gamma = 0$ならば時空は平坦であり、時空が曲がっていればそうはならない。

復習計算メモ

\begin{equation}
\left[ \hat{p}, \hat{x} \right] = -i\hbar,\ \left[ \partial/\partial x, x \right] = 1
\end{equation}
\begin{eqnarray}
 & &  \langle x|  \left[ \hat{p}, \hat{x} \right] |\psi \rangle \\
 &=& \int dx'\langle x|  \left[ \hat{p}, \hat{x} \right] | x' \rangle \langle x'|\psi \rangle \\
&=&  \int dx' \int dx'' \left\{ \langle x| \hat{p} |x''\rangle \langle x''| \hat{x}   | x' \rangle
-  \langle x| \hat{x} |x''\rangle \langle x''| \hat{p}  | x' \rangle  \right\} \langle x'|\psi \rangle \\
&=& \int dx' \int dx'' \left\{ p(x,x'') x' \delta(x'' - x') - x'' \delta(x-x'')  p(x'',x') \right\}\psi(x') \\
&=&  \int dx' \{ p(x,x') x' - x p(x,x') \}\psi(x')\\
&=& -i\hbar \psi(x)\\
&=&   \langle x|  (-i\hbar) | \psi \rangle
\end{eqnarray}
where $p(x,x') = \langle x| \hat{p} | x' \rangle $.
\begin{equation}
 \therefore p(x,x') = -i\hbar\delta(x-x') \frac{\partial}{\partial x'},\ \langle x | \hat{p} |\psi \rangle = -i\hbar \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
&&  p\langle x | p \rangle \\
&=& \langle x |\hat{p}| p \rangle \\
&=& -i\hbar \partial/\partial x  \langle x | p \rangle
\end{eqnarray}
\begin{equation}
\therefore  \langle x | p \rangle = \exp\{ i x p /\hbar\}
\end{equation}

不変量と変換$\delta$

不変量が生成するイデアルが凖同型$\delta - 1 $（変換の差分）に対応することを考えると、厳密に不変量と変換は双対だ。$\mathrm{ker}(\delta - 1) = (\mathrm{invariants})$。$\delta -1$がnilpotentならコホモロジー類が定義できて、・・・。

ちなみに$(\delta - 1)^2=0$ならば$\delta (\delta -1) = \delta - 1$なので、$\delta -1 $そのものもまた$\delta $の不変量である。

完全列

\[
0 \rightarrow 1 \rightarrow 1\oplus 2  \rightarrow  2\oplus  3 \rightarrow 3\oplus 4  \rightarrow \cdots
\]
というやりかたで手軽にresolutionを作れる。