svg のbounding box

Mathjax では対応できない$\mathrm{\TeX}$ の図表や式をhtml に載せるならsvg 形式がよいとおもうが、dvi -> pdf -> svg ではbounding box がa4のままである。dvi ->　ps -> eps -> pdf -> svg とやればps2eps がbonding box を調整してくれるので dvips, ps2eps, epstopdf and pdf2svg だけでうまくいく。

圏の双対のイメージ？

eqaulizerというのがあってこれは二つの射をeqaulizeする。一方coeqaulizerは同値類で割ることの圏論的形式とでも言うべきものであるから、強いて言えばeqaulizeされているのは対象の中の要素だといえよう。まさに要素$\leftrightarrow$写像の双対性である。

raiseboxの高さ、深さ

$\mathrm{\TeX}$ におけるraiseboxの高さ、深さの意味がよく分からなかったので記録。なおmathjaxでは使用できない模様。
\[
{\raisebox{3ex}[0ex][0ex]{x}}^a_b,~
{\raisebox{0ex}[3ex][0ex]{x}}^a_b,~
{\raisebox{0ex}[0ex][3ex]{x}}^a_b
]\

ソリトンと相互作用とČech

\begin{eqnarray}
2 &=& 1_1 + 1_2 - c( 1_1, 1_2) \\
3 &=& 1_1 + 1_2 + 1_3 - c( 1_1, 1_2) - c( 1_2, 1_3) - c( 1_3, 1_1) + c( 1_1, 1_2, 1_3)  \\
&=& 2_{12} + 2_{23} + 2_{31} + c(1_1,1_2,1_3)\\
4 &=& 3_{123} + 3_{234} + 3_{341}+3_{412} - c(1_1,1_2,1_3,1_4)
\end{eqnarray}

Čech cohomology

$f: U_1\cap U_2\cap \cdots\cap U_n \mapsto a\Leftrightarrow f(1,2,...,n)=a$
\begin{eqnarray}
(\delta f)(1, 2) &=& f(1) + f(2) \\
(\delta f)(1,2,3) &=& f(1,2) + f(2,3) + f(3,1) \\
(\delta f)(1,2,3,4) &=& f(1,2,3) + f(2,3,4) + f(3,4,1) + f(4,1,2)
\end{eqnarray}

イメージ的に$c(1_1,1_2,...,1_r)$は$H^r(\mathcal{U}; A)$の元？

リーマンの曲率テンソルの一つの導出法

リーマンの曲率テンソルを導入するのに共変微分の交換$[D_\mu,D_\nu]$を用いるのが形式的に便利であるが、次のような方法もある。内山龍雄「一般ゲージ場論序説」を参考にしました。

接続（Christoffel 記号）の座標変換は$\Gamma' = T^{-1}\Gamma T + T^{-1}dT$で与えられるから、時空が平坦であるということは$ \exists T; \Gamma = T^{-1}dT$である。従って
\begin{eqnarray}
 &&dT = T\Gamma \\
&\Leftrightarrow& dT\wedge \Gamma + Td\Gamma =0 \\
&\Leftrightarrow& T\left(\Gamma \wedge\Gamma + d\Gamma\right)=0
\end{eqnarray}
より、$R\equiv d\Gamma+ \Gamma \wedge\Gamma = 0$ならば時空は平坦であり、時空が曲がっていればそうはならない。

復習計算メモ

\begin{equation}
\left[ \hat{p}, \hat{x} \right] = -i\hbar,\ \left[ \partial/\partial x, x \right] = 1
\end{equation}
\begin{eqnarray}
 & &  \langle x|  \left[ \hat{p}, \hat{x} \right] |\psi \rangle \\
 &=& \int dx'\langle x|  \left[ \hat{p}, \hat{x} \right] | x' \rangle \langle x'|\psi \rangle \\
&=&  \int dx' \int dx'' \left\{ \langle x| \hat{p} |x''\rangle \langle x''| \hat{x}   | x' \rangle
-  \langle x| \hat{x} |x''\rangle \langle x''| \hat{p}  | x' \rangle  \right\} \langle x'|\psi \rangle \\
&=& \int dx' \int dx'' \left\{ p(x,x'') x' \delta(x'' - x') - x'' \delta(x-x'')  p(x'',x') \right\}\psi(x') \\
&=&  \int dx' \{ p(x,x') x' - x p(x,x') \}\psi(x')\\
&=& -i\hbar \psi(x)\\
&=&   \langle x|  (-i\hbar) | \psi \rangle
\end{eqnarray}
where $p(x,x') = \langle x| \hat{p} | x' \rangle $.
\begin{equation}
 \therefore p(x,x') = -i\hbar\delta(x-x') \frac{\partial}{\partial x'},\ \langle x | \hat{p} |\psi \rangle = -i\hbar \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
&&  p\langle x | p \rangle \\
&=& \langle x |\hat{p}| p \rangle \\
&=& -i\hbar \partial/\partial x  \langle x | p \rangle
\end{eqnarray}
\begin{equation}
\therefore  \langle x | p \rangle = \exp\{ i x p /\hbar\}
\end{equation}

不変量と変換$\delta$

不変量が生成するイデアルが凖同型$\delta - 1 $（変換の差分）に対応することを考えると、厳密に不変量と変換は双対だ。$\mathrm{ker}(\delta - 1) = (\mathrm{invariants})$。$\delta -1$がnilpotentならコホモロジー類が定義できて、・・・。

ちなみに$(\delta - 1)^2=0$ならば$\delta (\delta -1) = \delta - 1$なので、$\delta -1 $そのものもまた$\delta $の不変量である。