リーマンの曲率テンソルの一つの導出法

リーマンの曲率テンソルを導入するのに共変微分の交換$[D_\mu,D_\nu]$を用いるのが形式的に便利であるが、次のような方法もある。内山龍雄「一般ゲージ場論序説」を参考にしました。

接続（Christoffel 記号）の座標変換は$\Gamma' = T^{-1}\Gamma T + T^{-1}dT$で与えられるから、時空が平坦であるということは$ \exists T; \Gamma = T^{-1}dT$である。従って
\begin{eqnarray}
 &&dT = T\Gamma \\
&\Leftrightarrow& dT\wedge \Gamma + Td\Gamma =0 \\
&\Leftrightarrow& T\left(\Gamma \wedge\Gamma + d\Gamma\right)=0
\end{eqnarray}
より、$R\equiv d\Gamma+ \Gamma \wedge\Gamma = 0$ならば時空は平坦であり、時空が曲がっていればそうはならない。

復習計算メモ

\begin{equation}
\left[ \hat{p}, \hat{x} \right] = -i\hbar,\ \left[ \partial/\partial x, x \right] = 1
\end{equation}
\begin{eqnarray}
 & &  \langle x|  \left[ \hat{p}, \hat{x} \right] |\psi \rangle \\
 &=& \int dx'\langle x|  \left[ \hat{p}, \hat{x} \right] | x' \rangle \langle x'|\psi \rangle \\
&=&  \int dx' \int dx'' \left\{ \langle x| \hat{p} |x''\rangle \langle x''| \hat{x}   | x' \rangle
-  \langle x| \hat{x} |x''\rangle \langle x''| \hat{p}  | x' \rangle  \right\} \langle x'|\psi \rangle \\
&=& \int dx' \int dx'' \left\{ p(x,x'') x' \delta(x'' - x') - x'' \delta(x-x'')  p(x'',x') \right\}\psi(x') \\
&=&  \int dx' \{ p(x,x') x' - x p(x,x') \}\psi(x')\\
&=& -i\hbar \psi(x)\\
&=&   \langle x|  (-i\hbar) | \psi \rangle
\end{eqnarray}
where $p(x,x') = \langle x| \hat{p} | x' \rangle $.
\begin{equation}
 \therefore p(x,x') = -i\hbar\delta(x-x') \frac{\partial}{\partial x'},\ \langle x | \hat{p} |\psi \rangle = -i\hbar \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
&&  p\langle x | p \rangle \\
&=& \langle x |\hat{p}| p \rangle \\
&=& -i\hbar \partial/\partial x  \langle x | p \rangle
\end{eqnarray}
\begin{equation}
\therefore  \langle x | p \rangle = \exp\{ i x p /\hbar\}
\end{equation}

不変量と変換$\delta$

不変量が生成するイデアルが凖同型$\delta - 1 $（変換の差分）に対応することを考えると、厳密に不変量と変換は双対だ。$\mathrm{ker}(\delta - 1) = (\mathrm{invariants})$。$\delta -1$がnilpotentならコホモロジー類が定義できて、・・・。

ちなみに$(\delta - 1)^2=0$ならば$\delta (\delta -1) = \delta - 1$なので、$\delta -1 $そのものもまた$\delta $の不変量である。

完全列

\[
0 \rightarrow 1 \rightarrow 1\oplus 2  \rightarrow  2\oplus  3 \rightarrow 3\oplus 4  \rightarrow \cdots
\]
というやりかたで手軽にresolutionを作れる。

指数関数の再帰的？定義

指数関数は再帰的に定義することができる？
\[
f_n (x) = 1 + x\frac{ f_{n+1}(x) }{n+1}
\]
として、$\exp(x)\equiv f_0(x)$である。ネイピア数$e$は
\[
e_n = 1 + \frac{ e_{n+1} }{ n+1 }
\]
として、$e\equiv e_0$である。一般に$C^\omega$級関数は
\[
f_n(x) = f^{(n)}(a) +  (x-a)\frac{ f_{n+1}(x) }{n+1}
\]
として、$f(x)\equiv f_0(x)$と表せる。一般に
\[
\exp(ax) \equiv \lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1 + a\frac{x}{n}\right)^n
\]
なる定義は微小変換の「積み重ね」として表せる大局的変換としての性質を、
\[
\exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
\]
なる定義は微分$d/dx$の固有ベクトルとしての性質を反映している。上の再帰的定義はどのような性質を反映したものであろうか。

ちなみにFourier展開の場合、 元の関数を$f$、展開係数を$a_n$とすると
\[
f_n(x) = a_n + e^{i x} f_{n+1}(x)
\]
として、$f(x) \equiv f_{-\infty} (x)$である。

関数型、オブジェクト指向

1+1という行為に対して、

1. 整数型の引数を二つ取り、整数型の値を返す + なる二項演算子に引数1, 1を与えようと考えるのが関数型。
2. 整数クラスのインスタンスである1 に引数として整数クラスのインスタンスを取るメッセージ + を送ってろう(メッセージング)と考えるのがアラン・ケイ流オブジェクト指向。
3. 整数クラスのインスタンスである1 に引数として整数クラスのインスタンスを取るメソッドを呼び出そうと考えるのがビャーネ・ストロヴストルップ流オブジェクト指向。

であろうか。模式的に書くなら

1. add(1, 1)
2. 1 add: 1
3. 1.add(1)

プログラミングに関する概念は幾つかの階層に分かれるのがややこしいですね。〜(指向 or 型)プログラミング言語を用いて〜(指向 or 型)プログラミングを行う。という文章が成り立つと思います。

fold と unfold (gauche)

リスト(1 2 3)というものは次のようにして構成されます。

(cons 1 (cons 2 (cons 3 '())))

(cons a b) を　(a . b) と書くことにすれば、

(1 . (2 . (3 . '())))

です。ところで、自然数123というのは、通常10進法で表記しているわけですが、これは次のようにして定義されています。

3 + 10*( 2 + 10*(1 + 10*0)))

似ていますね。このような対象同士を相互に変換するのがfold とunfold-right です。

(fold (lambda (a b) (+ (* b 10) a )) 0 '(1 2 3)) ==> 123
(unfold-right zero? (lambda (n) (modulo n 10))
                    (lambda (n) (quotient n 10))
                    123)                         ==> (1 2 3)

unfold だとリストの構造上逆に表記されます。その場合fold-right で元に戻ります。
(unfold zero? (lambda (n) (modulo n 10))
              (lambda (n) (quotient n 10))
              123)                                     ==> (3 2 1)
(fold-right (lambda (a b) (+ (* b 10) a )) 0 '(3 2 1)) ==> 123