texのenumerateで番号を継続させる。

enumerate環境において番号をリセットさせずに続けたいとき:

1 ...
2 ...

ちょめちょめ

3 ...

label, refを用いて、

¥begin{itemize}
¥item ...
¥item ...
¥label{hoge}
¥end{itemize}

ちょめちょめ

¥begin{itemize} ¥setcounter{enumi}{¥ref{hoge}}
¥item ...
¥end{itemize}

とすればOK。一回目のコンパイルでは¥ref に数字が入っていないのでエラーが出るが、無視して続けたあとにもう一回回せばちゃんと数字が入っている。

正規表現メモ

Emacsのreplace-regexpで代数計算ソフトからコピペでCに移すときに。

変数がアルファベットの小文字一文字で数式が

...+ N x^n + ...

と表示される場合、

\([a-z]\)  ---> *\1

としてから

\([a-z]\)^\([0-9]+\)  ---> pow(\1,\2)

で吉。

時空物質双対性

アインシュタイン方程式の二つの表式
\[
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu}R = \kappa T_{\mu\nu}
\]
\[
\frac{1}{\kappa}R _{\mu\nu}= T_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu}T
\]
は時空と物質が対称であると言ってる気がする。時空物質対称性というのはちょっと面白い響きだ。代数と幾何との双対性（空間の同型性と函数環あるいは導来圏の同型性）に通じるところがありそう。

主$G$束

下のことが腑に落ちれば諸概念のエレガントな理解につながると思うのだがどうも至らない。正しいという確証もない。

短完全列
\[
0\longrightarrow G \longrightarrow P \longrightarrow M  \longrightarrow 0
\]
があると、$M\simeq P/G$が成り立つ。じゃあ$P$は直積$P\simeq M\times G$かというとそうとは限らなくて、局所的に直積で書けるなら主$G$束とよばれるものになる。局所的には直積で書けるという条件は局所的には分裂するとも言い換えられる。この分裂を切断と呼ぶ。圏論的には同型な対象は区別しないので$\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times G$などといった写像をわざわざ定義する必要はない。

また短完全列
\[
0 \longrightarrow P\times_{\mathrm{Ad}} \mathfrak{g}  \longrightarrow TP/G  \longrightarrow TM  \longrightarrow 0
\]
が分裂するとき（必ず 分裂 する？）その 分裂 射を主$G$束$P$における接続と呼ぶ。（c.f. 小林昭七「接続の微分幾何学とゲージ理論」）

上の短完全列は局所的に
\[
0  \longrightarrow U\times \mathfrak{g}   \longrightarrow  U\times \mathbb{R}^r\times\mathfrak{g}  \longrightarrow U\times \mathbb{R}^r   \longrightarrow 0
\]
と書ける。 つまり接続もとい 分裂 は本質的には$TU\simeq U\times \mathbb{R}^r$から$\mathfrak{g}$を決める写像すなわち$U$上の$\mathfrak{g}$値１形式である。

日本語$\rightarrow$短完全列

$A$は$B$の[上の]$C$による[を...とする]ナントカといったときはだいたい次の図式が成り立つ？
\[
0  \longrightarrow C  \longrightarrow  A \longrightarrow  B  \longrightarrow  0
\]

ex)
$A$は$B$上の$C$による群拡大
$A$は$B$上の主$C$束

射の射と図式の射

射の射とか図式の射はいたって自明なことであるためあまり陽には意識されていないと思われるが、意識すると諸緒の記述が楽になるかもしれない。完全列間の射とか、三角間の射とか。
射$f,g$について、 次なる図式が可換であるときに射の組$(u,v)$が$f$から$g$への射であるという。

また同時に$(u,v)$は図式$A\rightarrow B$から$C\rightarrow D$への射であるともいう。一般的にある図式について、その図式のすべての対象から別の図式の対応する対象の間に射が定められこれらが図式の射の射となっているときこの射たちの組を図式間の射と定める。日本語で書くとややこしいが数学語でどう格好よく表現すればよいか思い浮かばない。

シンプレクティック形式とディラック括弧

$2n$次元シンプレクティック空間$M$上ではシンプレクティック形式$\omega = \sum_{i=1}^n  dp^i \wedge  dq^i\in T^* M\otimes T^*M $によってある0形式$f$と$df=\omega(X_f)$なるベクトル場$X_f$が対応する。ここで $T^* M\otimes T^*M \simeq TM\rightarrow T^*M$なので引数の数によって $\omega$をどちらの集合の元として見ているかを区別している。

これからベクトル場$X_f$の具体的な表式を求める。ダルブー座標$(z^1,z^2,...,z^{2n})=(q^1,q^2,...,q^n, p^1,p^2,...,p^n)$ を用いて
\[
X_f = \sum_{k=1}^{2n}X_f^k  \frac{\partial}{\partial z^k} = \sum_{i=1}^n A^i \frac{\partial}{\partial q^i}+ B^i \frac{\partial}{\partial p^i}
\]
とすると
\[
\omega(X_f) = \sum_{k=1}^{2n}X_{f,k} dz^k =  \sum_{i=1}^n   B^i dq^i  - A^i dp^i
\]
ただし$X_{f,k} = \Omega_{kl}X_f^l$で$\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\-I_n & 0 \end{pmatrix}$。

今$df-\omega(X_f)=0$なる式は
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q^i} - B_i \right) dq^i +  \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial p^i} + A_i \right) dp^i = 0
\end{equation}
と書けるので最終的に
\[
X_f =  \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial q^i}   \frac{\partial}{\partial p^i} -  \frac{\partial f}{\partial p^i} \frac{\partial}{\partial q^i}
\]
となる。二つの0形式$f,g$について
\[
[f,g]_{P}=\omega(X_f, X_g) = -X_f g =  \frac{\partial f}{\partial p^i} \frac{\partial g}{\partial q^i} -  \frac{\partial f}{\partial q^i}   \frac{\partial g}{\partial p^i}
\]
なる量を$f,g$のポアソン括弧という。もしかしたら慣例的記法と符号が異なるかもしれない。

いま拘束された $M$にの部分空間もまたシンプレクティック空間となるように 拘束条件$\phi^A=0(A=1,...,2m)$を置く。すると式(1)において$dq^\ast, dp^\ast$らは線型独立ではないためラグランジュの未定乗数$\lambda_A$を導入する。ここで$\ast$はワイルドカードである。この条件に拘束されたベクトル場$X_f$を$\bar{X}_f$と書くことにすると、$df-\omega(\bar{X}_f)-\sum_A\lambda_A\phi^A=0$は
\[
 \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q^i} - \bar{B}_i -\sum_A\lambda_A   \frac{\partial \phi^A}{\partial q^i}  \right) dq^i +  \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial p^i} + \bar{A}_i - \sum_A\lambda_A   \frac{\partial \phi^A}{\partial p^i}  \right) dp^i = 0
\]
と書けて
\[
 \bar{X}_f =  \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial q^i}- \lambda_A   \frac{\partial \phi^A}{\partial q^i} \right)  \frac{\partial}{\partial p^i} -  \left( \frac{\partial f}{\partial p^i} - \lambda_A   \frac{\partial \phi^A}{\partial p^i}   \right) \frac{\partial}{\partial q^i}
\]
が求まる。$ \sum_A$は省略した。 今拘束条件$\phi^A=0$下におけるポアソン括弧は
\[
[f,g]_D = -\bar{X}_f g = [f,g]_P - \lambda_A [\phi^A,g]_P
\]
となって、これを$f$と$g$とのディラック括弧という。