xargsに空白を含む文字列を渡すにはsedなどで空白をエスケープしてやればよい。
... | sed "s/ /\\\\ /g"|xargs ...
2014年12月30日火曜日
2014年9月29日月曜日
2014年4月29日火曜日
下付き完全反対称テンソルの負符号の起源
完全反対称テンソル$\epsilon^{{i}_1{i}_2\cdots{i}_n}$そのものが出てくる理由は体積素もといwedge積とかそういうところにある。だから平坦な場合
\[
\epsilon^{{i}_1{i}_2\cdots{i}_n} \equiv \mathrm{sgn}\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{pmatrix}
\]
で、相対論なんかが関わるときに出てくる$\epsilon_{0123}=-1$のなぞについては
\begin{eqnarray}
\epsilon_{{j}_1{j}_2\cdots{j}_n} &\equiv &
\epsilon^{{i}_1{i}_2\cdots{i}_n} g_{i_1j_1}g_{i_2j_2}\cdots{g}_{i_nj_n} \\
&=& \mathrm{det} g \mathrm{sgn}\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{pmatrix}\\
&=&\mathrm{det} g \epsilon^{{i}_1{i}_2\cdots{i}_n}
\end{eqnarray}
なので、$g$の性質いかんで符号や係数がつく。上の$i_n$はMinkowski添字で、一般座標の添字を考えれば曲線座標バージョンの定義についても納得がいく。
\[
\epsilon^{{i}_1{i}_2\cdots{i}_n} \equiv \mathrm{sgn}\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{pmatrix}
\]
で、相対論なんかが関わるときに出てくる$\epsilon_{0123}=-1$のなぞについては
\begin{eqnarray}
\epsilon_{{j}_1{j}_2\cdots{j}_n} &\equiv &
\epsilon^{{i}_1{i}_2\cdots{i}_n} g_{i_1j_1}g_{i_2j_2}\cdots{g}_{i_nj_n} \\
&=& \mathrm{det} g \mathrm{sgn}\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{pmatrix}\\
&=&\mathrm{det} g \epsilon^{{i}_1{i}_2\cdots{i}_n}
\end{eqnarray}
なので、$g$の性質いかんで符号や係数がつく。上の$i_n$はMinkowski添字で、一般座標の添字を考えれば曲線座標バージョンの定義についても納得がいく。
2014年4月4日金曜日
ダブルポインターのこころ？
文字列の集まりを管理しようと思ったら、それぞれの文字列の先頭のアドレスを集めておきたいですね。文字列そのものよりも文字列の場所を教えるほうが親切です。アドレスを格納するのがポインターでしたから、すなわちポインターの配列 *argv[] です。でも渡すのはこのポインターの配列の先頭のアドレス（と文字列の数）だけで十分ですから、ダブルポインター **argv (と argc ）が渡されます。
2014年3月28日金曜日
2014年3月26日水曜日
2014年3月15日土曜日
Yanofsky流Lawvereの不動点定理とCantorの定理
最近Lawvereの不動点定理が腑に落ちたので備忘メモを記す。
Theorem(Lawvere) デカルト閉圏$\mathscr{C}$において全射$f:\Omega\rightarrow Y^\Omega$が存在するとき、任意の$\alpha : Y\rightarrow Y$は不動点を持つ。
Proof デカルト閉圏の性質から$\mathscr{C}(\Omega, Y^\Omega)\simeq \mathscr{C}(\Omega\times\Omega, Y)$なので$f$を$\hat{f}:\Omega\times\Omega\rightarrow Y$とみなすことができる。$f$は全射なので任意の$h\in Y^\Omega: \Omega\rightarrow Y$に対して$h=f(\omega_h)$あるいは同じことであるが$h(\omega)=\hat{f}(\omega, \omega_h)$を満たす$\omega_h$が（一意的ではないにせよ）存在する。いま$Y^\Omega$の元として$g(\omega)=\alpha(\hat{f}(\omega,\omega))$なるものを考える。すると$g=f(\omega_g)$($g(\omega)=\hat{f}(\omega,\omega_g)$)なる$\omega_g$について$g(\omega_g)=\alpha(f(\omega_g,\omega_g))=\hat{f}(\omega_g, \omega_g)$。(QED)
解釈
$\Omega$というのは「ラベル」の空間で、任意の$Y^\Omega$がラベルづけできる、すなわち任意の$h\in Y^\Omega$に対して対応する$\Omega$の元が存在する、言い換えれば$\Omega\rightarrow Y^\Omega$なる全射が存在することがキモとなっている。$\alpha$として不動点が存在し得ない写像を想定できればこの全射性を否定することができる。
Yanofsky流にダイアグラムを書くと次のようになる。
\[
\xymatrix{
\Omega\times\Omega \ar[r]^{\hat{f}} & Y \ar[d]^\alpha \\
\Omega \ar[u]^\Delta \ar[r]^g & Y
}\]
$\Delta$は$\Omega\times\Omega$の対角線を取る作用素である。
Lavereの不動点定理（の対偶）を用いてCantorの定理を証明しよう。いま$\mathbf{2}=\{0,1\}$, $\wp(\mathbb{N})=\mathbf{2}^\mathbb{N}$とする。
Theorem(Cantor) $\mathbb{N}\lneq\wp(\mathbb{N})$
Proof 定理は$\mathbb{N}\rightarrow\mathbf{2}^\mathbb{N}$なる全射が存在しないことを主張している。$\alpha:\mathbf{2}\rightarrow\mathbf{2}$として$\alpha:1\mapsto 0, 0\mapsto 1$なるものを考えると、この変換は不動点を持たない。したがってLawvereの定理の対偶により全射$\mathbb{N}\rightarrow\mathbf{2}^\mathbb{N}$は存在しない。(QED)
解釈
$\wp(\mathbb{N})=\mathbf{2}^\mathbb{N}$の$\mathbb{N}$は桁番号を、$\mathbf{2}$はその桁の値を表している。すなわち$\mathbf{2}^\mathbb{N}$は$[0,1)$の実数を二進法で表したものである。（写像が数になる、と言うところが冪対象の存在の所以である。）全射$\mathbb{N}\rightarrow\mathbf{2}^\mathbb{N}$が存在すると$[0,1)$の実数に自然数で通し番号をつけることができるということになるが、$g(n)=\alpha(\hat{f}(n,n))$すなわちその$n$桁目が$n$番目の数の$n$桁目ではないもの、であるような$g$を取ると、$g$の$n_g$桁目は$g$の$n_g$桁目ではないものになってしまうので矛盾するのである。
\[
\xymatrix{
\mathbb{N}\times\mathbb{N} \ar[r]^{\hat{f}} & \mathbf{2} \ar[d]^\alpha \\
\mathbb{N} \ar[u]^\Delta \ar[r]^g & \mathbf{2}
}\]
Yanofskyの論文[1]や辻本さんという人の文書[2]に興味深い例がたくさん載っている。一つ[2]から紹介しよう。
Lemma(辻本) すべての心理状態を物理状態に帰着させることはできない。
Proof 心理状態として物理状態を良し悪しで判定することを考える。すなわち物理状態の空間を$\mathcal{H}$とおくと、この心理状態の集合は$\mathbb{2}^\mathcal{H}$で表されることとなる。ここで否定的な状態を考える。すなわち$\alpha:1\mapsto 0, 0\mapsto 1$なるものを考えて$g(h)=\alpha(\hat{f}(h,h))$とする。$g$は$h$なる物理状態で指定される心理$f(h)$が$h$自身について考えた結果を否定する。$g$が$g$自身について考えれば、これは$\alpha$の不動点となり矛盾する。(QED)
[1]N. S. Yanofsky, http://arxiv.org/abs/math/0305282
[2]辻下 徹, www.ritsumei.ac.jp/se/~tjst/doc/tjst/988-st.pdf
Theorem(Lawvere) デカルト閉圏$\mathscr{C}$において全射$f:\Omega\rightarrow Y^\Omega$が存在するとき、任意の$\alpha : Y\rightarrow Y$は不動点を持つ。
Proof デカルト閉圏の性質から$\mathscr{C}(\Omega, Y^\Omega)\simeq \mathscr{C}(\Omega\times\Omega, Y)$なので$f$を$\hat{f}:\Omega\times\Omega\rightarrow Y$とみなすことができる。$f$は全射なので任意の$h\in Y^\Omega: \Omega\rightarrow Y$に対して$h=f(\omega_h)$あるいは同じことであるが$h(\omega)=\hat{f}(\omega, \omega_h)$を満たす$\omega_h$が（一意的ではないにせよ）存在する。いま$Y^\Omega$の元として$g(\omega)=\alpha(\hat{f}(\omega,\omega))$なるものを考える。すると$g=f(\omega_g)$($g(\omega)=\hat{f}(\omega,\omega_g)$)なる$\omega_g$について$g(\omega_g)=\alpha(f(\omega_g,\omega_g))=\hat{f}(\omega_g, \omega_g)$。(QED)
解釈
$\Omega$というのは「ラベル」の空間で、任意の$Y^\Omega$がラベルづけできる、すなわち任意の$h\in Y^\Omega$に対して対応する$\Omega$の元が存在する、言い換えれば$\Omega\rightarrow Y^\Omega$なる全射が存在することがキモとなっている。$\alpha$として不動点が存在し得ない写像を想定できればこの全射性を否定することができる。
Yanofsky流にダイアグラムを書くと次のようになる。
\[
\xymatrix{
\Omega\times\Omega \ar[r]^{\hat{f}} & Y \ar[d]^\alpha \\
\Omega \ar[u]^\Delta \ar[r]^g & Y
}\]
$\Delta$は$\Omega\times\Omega$の対角線を取る作用素である。
Lavereの不動点定理（の対偶）を用いてCantorの定理を証明しよう。いま$\mathbf{2}=\{0,1\}$, $\wp(\mathbb{N})=\mathbf{2}^\mathbb{N}$とする。
Theorem(Cantor) $\mathbb{N}\lneq\wp(\mathbb{N})$
Proof 定理は$\mathbb{N}\rightarrow\mathbf{2}^\mathbb{N}$なる全射が存在しないことを主張している。$\alpha:\mathbf{2}\rightarrow\mathbf{2}$として$\alpha:1\mapsto 0, 0\mapsto 1$なるものを考えると、この変換は不動点を持たない。したがってLawvereの定理の対偶により全射$\mathbb{N}\rightarrow\mathbf{2}^\mathbb{N}$は存在しない。(QED)
解釈
$\wp(\mathbb{N})=\mathbf{2}^\mathbb{N}$の$\mathbb{N}$は桁番号を、$\mathbf{2}$はその桁の値を表している。すなわち$\mathbf{2}^\mathbb{N}$は$[0,1)$の実数を二進法で表したものである。（写像が数になる、と言うところが冪対象の存在の所以である。）全射$\mathbb{N}\rightarrow\mathbf{2}^\mathbb{N}$が存在すると$[0,1)$の実数に自然数で通し番号をつけることができるということになるが、$g(n)=\alpha(\hat{f}(n,n))$すなわちその$n$桁目が$n$番目の数の$n$桁目ではないもの、であるような$g$を取ると、$g$の$n_g$桁目は$g$の$n_g$桁目ではないものになってしまうので矛盾するのである。
\[
\xymatrix{
\mathbb{N}\times\mathbb{N} \ar[r]^{\hat{f}} & \mathbf{2} \ar[d]^\alpha \\
\mathbb{N} \ar[u]^\Delta \ar[r]^g & \mathbf{2}
}\]
Yanofskyの論文[1]や辻本さんという人の文書[2]に興味深い例がたくさん載っている。一つ[2]から紹介しよう。
Lemma(辻本) すべての心理状態を物理状態に帰着させることはできない。
Proof 心理状態として物理状態を良し悪しで判定することを考える。すなわち物理状態の空間を$\mathcal{H}$とおくと、この心理状態の集合は$\mathbb{2}^\mathcal{H}$で表されることとなる。ここで否定的な状態を考える。すなわち$\alpha:1\mapsto 0, 0\mapsto 1$なるものを考えて$g(h)=\alpha(\hat{f}(h,h))$とする。$g$は$h$なる物理状態で指定される心理$f(h)$が$h$自身について考えた結果を否定する。$g$が$g$自身について考えれば、これは$\alpha$の不動点となり矛盾する。(QED)
[1]N. S. Yanofsky, http://arxiv.org/abs/math/0305282
[2]辻下 徹, www.ritsumei.ac.jp/se/~tjst/doc/tjst/988-st.pdf
2014年2月7日金曜日
enumerate環境で番号を連続させるマクロ
http://dameal-man.blogspot.jp/2013/03/texenumerate.html で$\mathrm{TeX}$のenumerate環境で番号を連続させる方法を書いたがこれは次のようなマクロでも実現できる。こちらのほうがエレガント。cenumerate環境。
\newcounter{cenumi}
\setcounter{cenumi}{0}
\newenvironment{cenumerate}
{\ begin{enumerate}\setcounter{enumi}{\value{cenumi}}}
{\setcounter{cenumi}{\value{enumi}}\end{enumerate}}
\newcounter{cenumi}
\setcounter{cenumi}{0}
\newenvironment{cenumerate}
{\ begin{enumerate}\setcounter{enumi}{\value{cenumi}}}
{\setcounter{cenumi}{\value{enumi}}\end{enumerate}}
2014年1月12日日曜日
htmlでフォントが勝手に変わるとき
cgiなどを用いてある文章のリストからランダムに選択して表示するページを作ると、文字列の種類によって他のアルファベットのフォントが勝手に変更されたりしてしまうことがある。そのときはアルファベット用のfont-familyを指定したうえで該当箇所をでくくれば解決する。
登録:
コメント (Atom)