多様体$\rightarrow$局所
$\rightarrow$
Euclid
解析関数$\rightarrow$局所
$\rightarrow$
多項式
多様体$\rightarrow$一次近似
$\rightarrow$ベクトルバンドル
環
$\rightarrow$一次近似
$\rightarrow$環上加群
非線型微分方程式
$\rightarrow$一次近似
$\rightarrow$線形微分方程式
非線型微分方程式とは $[\delta , x ]=1$ を基本とする非可換環の代数であるらしい。$f$が$x$の函数であるとは、代数的にはこの間の積が可換ではないということ。$[\delta_x , f]\not=0$。
\[
\frac{dy}{dx} = f(x,y)なる方程式 \Longleftrightarrow [\delta,y]=f(x,y)なる非可換環の代数
\]
幾何学と代数の双対
定理：多様体$M,N$が同型$\Leftrightarrow$ その上の函数環$C(M),C(N)$が同型
定理：多様体$M,N$が同型 $\Leftrightarrow$ coh($M$),coh($N$)が圏同値
